六年级奥数-第六讲立体几何--教案

第六部分是关于立体几何长方体和正方体如右图所示，长方体有六个面(每个面是一个矩形)、八个顶点和十二条边。(1)在六个面中，两个相对的边是全等的，也就是说，三个相对的边是全等的。(两个完全重叠的图形称为全等图形。)(2)长方体表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：长方体体积：(3)立方体是一个等边的长方体。这是一个长方体的特例。它的六个面是正方形。如果其边长为，则：第二，圆柱和圆锥立体图形表面面积卷圆筒圆锥体注意：它是一条母线，即从顶点到底部圆的线段长度优秀的例子示例1下图显示了一个长度为2厘米的立方体。在立方体的上表面中间，挖一个1厘米长的立方体洞，然后在洞底中间挖一个1厘米长的正方形洞。挖第三个方孔的方法和前两个一样，那么最终得到的三维图形的表面积是多少平方厘米？分析我们仍然从三个方向考虑。平行于上下表面的每个表面的面积之和：2228(平方厘米)；左右、前后：22416 (cm2)、1144 (cm2)、41 (cm2)、4 (cm2)，该立体图形的表面积为：41 (cm2)。实施例2沿水平方向将边长1米的立方体木块锯成2块。每片被锯成3条长条形，每片被锯成4小片。总共获得了24个大大小小的长方体。这24个长方体的表面积之和是多少？分析当一次锯两个面时，将锯的总数转换成增加的面数的公式是：锯的总数2增加的面数。原始立方体表面积：1166 (m2)，锯(21)(31)(41)共6次。(m2)。例3如图所示，25个1边长的立方体积木组合成一个几何形体。最小表面积是多少？分析当小积木最多相互重叠时，表面积最小。假设27块边长为1的正方形积木组合成一个立方体时，表面积最小。现在，需要移除两个小构件。只有当一个小积木从每个角上移开或者两个相邻的积木从同一个角上移开时，表面积才不会增加，几何图形的表面积为54。【例4】(2008年“希望杯”五年级第二次测试)如图所示，棱镜的长度是厘米、厘米、厘米，四个立方体紧密地结合在一起，那么多面体的表面积是_ _ _ _ _ _平方厘米。分析(方法1)四个立方体的表面积之和为：(cm2)，重叠部分的面积为：(平方厘米)，因此，获得的多面体表面积为：(平方厘米)。(方法2)三视图方法。从前到后观察的面积是平方厘米，从左到右观察的面积是平方厘米，从上到下观察的面积是平方厘米。表面积为(平方厘米)。示例5覆盖19个边长为1厘米的立方体，并按照右图所示的方式形成一个三维图形。找出三维图形的表面积。分辨率从上下、左右、前后观察的平面图如下三幅图所示。因此，这个三维图形的表面积是：2个左上方的正面。上表面面积为：9平方厘米，左表面面积为：8平方厘米，前表面面积为：10平方厘米。因此，这个三维图形的总表面积是：(平方厘米)。上下，左右，前后例6红色被涂在棱长为厘米(整数)的立方体的几个面上，然后被切成棱长为1厘米的小立方体。当至少一边有红色的小立方体的数量与表面没有红色的小立方体的数量之比至少为1时，此时的最小值是多少？分析共有1厘米长的小立方体被切割成边缘。因为具有至少一个红色面的小立方体的数量与没有红色面的小立方体的数量的比率是，小立方体的总数是25的倍数，即25的倍数，即5的倍数。那时，为了在至少一面上有65个小立方体，原始立方体的正面、顶部和底部可以被着色。此时，至少有一面有至少一个红色的小立方体，表面没有红色的小立方体一、这个数的比例是准确的，符合问题的含义。因此，的最小值为5。实施例7有64个边长为1 cm的相同尺寸的小立方体，其中34个是白色的，30个是黑色的。现在它们被组合成一个大立方体。白色部分在大立方体的表面最多能有多少平方厘米？【分析】要使大立方体表面的白色部分最多，相当于使大立方体表面的黑色部分最少，那么黑色的小立方体应该尽量保留。在整个大立方体中，有(a)没有暴露在表面上的小立方体，使用黑色立方体；表面上有小方块但侧面没有，有(块)，其中一块是黑色的。这样，表面上10个正方形中的22个是黑色的，10个是白色的，所以立方体表面上的白色部分最多可以是74平方厘米。实施例8三个相同的长方体，它们边缘的总长度为288厘米。每个长方体在顶点相交的三条边的长度正好是三个连续的自然数。给三个长方体上色，一边一个，两边一个，三边一个。将三个长方体切成1厘米长的小立方体。如果只有一面是彩色的，会有多少个小立方体？分析每个长方体的长度是厘米，所以每个长方体的长、宽、高之和是厘米。因为在顶点相交的每个长方体的三条边的长度正好是三个连续的自然数，所以每个长方体的长度、宽度和高度分别是9厘米、8厘米和7厘米。切割后只涂一面的立方体的最小数量是必需的。当根据主题绘制每个长方体时，应该允许切割后只绘制一个面的立方体的最小数量。因此，一面涂色的长方体应该一面涂一面。一个长方体涂有两面，如果两面不相邻，应该涂两面，其中一面；如果两个面是相邻的，一面和一面应该被涂覆，并且此时有两个面，所以至少应该涂覆105个面。一个有三条边的长方体应该有两条边，如果三条边不相邻，就应该有一条边和一条边。如果三个面彼此相邻，则有一个面，因此至少有146个面涂覆在三个面上。切割后，只有一个表面有颜色的小立方体，至少有一个。例9在一个大的长方体木块的表面涂上红色后，它被分成几个同样大小的小立方体，其中正好有100个立方体的两面涂上红色。这个大长方体至少应该分成几个小立方体？分析让一个小立方体的边长为1。考虑两种不同的情况。一个是长方体的长、宽、高都是1，另一个是长方体的长、宽、高都大于1。当一个长方体的长、宽、高之一为1时，分割后只有一层小立方体，其中两层涂有红色的立方体是去掉最外面一圈小立方体后剩下的。因为两边涂有红色的小立方体的数量正好是100，假设，那么小立方体的数量除以，为了使小立方体的数量尽可能小，应该使其最小，而且这两个数字的乘积是一定的，差值越小，乘积越小，那么在那个时候它们的总和就是最小的，这个时候的总和一个小立方体。当一个长方体的长、宽、高都大于1时，两面涂有红色的小立方体就是去掉8个顶点所在的小立方体后剩下的12条边上的小立方体。因为两面涂有红色的小立方体正好是100块，长方体的长度、宽度和高度之和是。因为这三个数的和是确定的，所以差值越大，乘积越小。为了最小化小立方体的数量，此时应该订购总共有个小立方体。因为，至少这个大长方体必须分成108个小立方体。例10将一个立方体的六个面分成九个相等的正方形。用红色、黄色和蓝色染这些小方块，并要求用不同的颜色染有共同边缘的方块。那么，最多有多少个方块可以染成红色？分辨率一张脸上最多可以有5个正方形被染成红色(见左下图)。由于用5个红色方块染色的面不能相邻也可以相反，因此最多可以用5个红色方块染色2个面。在剩下的四个面中，每个面的四个角上的正方形不能再被染成红色，最多四个红色正方形可以被染成红色(见中上图)。因为用四个红色方块染色的面不能相邻，也可以相反，所以最多可以用四个红色方块染色两个面。最后，有两个相对的面，每个面可以用最多两个红色方块染色(见右上图)。因此，最多有一个红色方块。(另一种解决方案)事实上，上述解决方案并不严格。“如果最初的假设没有两个相对的面和五个红色方块，那么在另外四个面上会出现更多的红色方块吗？”这种方法避免了这个问题。如果我们从限制染色方块数量的根本原因开始，我们可以严格地说这是红色方块的最大数量。对于同一平面上的网格，如果用棋盘的方式染色，至少一半的网格可以被染成红色。然而，现在需要染色的是立方体的表面，所以在分析问题时，应该考虑边、角和其他表面的相交： (1)如图所示，每个角上三个方向的三个正方形必须染成三种不同的颜色，因此八个角上的最大正方形数可以染成红色。(2)如图所示，阴影部分是由首尾相连的正方形组成的环。九个方格中只有一个可以被染成相同的颜色(如果五个方格被染成相同的颜色，将不可避免地会有相邻的方格，这可以用“分类原则”来反驳：首先去掉一个白色方格，然后将其余的方格分成两个相邻的抽屉，并且一个抽屉中必须有两个红色方格)。对于这样的环，在立方体的表面上最多可以找到两个不重叠的正方形(关于立方体中心的两个对称的正方形)，并且最多可以将其中一个正方形染成红色。(3)剩余的正方形分布在边缘上。只有一个方块可以染成红色。总而言之，最多有一个可以染成红色的格子可以染成红色。第一种解决方案已经给出了一个红色网格的染色方法，所以一个网格的染色是最常见的情况。例11长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的矩形。现在从顶部切一个尽可能大的立方体，然后从其余部分切一个尽可能大的立方体，最后从第二个部分切一个尽可能大的立方体。剩余的体积是多少？分析本课题的关键是确定立方体切割三次的边长。因为，为了方便起见，我们首先考虑长、宽、高分别为厘米、厘米和厘米的长方体。这是因为很容易知道第一次切割的立方体边缘长度应该是厘米。第二次，立方边长切割为厘米符合要求。第三次，立方边长切割为厘米符合要求。那么对于原来的长方体，立方体切割三次的边长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩余的体积应该是：(立方厘米)。示例12黑白方块以右侧所示的形状排列。众所周知，相邻的块(具有共同的面)具有不同的颜色，并用黑色标记。图中有多少个黑色方块？分析从分层的角度来看，下图(平行于纸张的部分)有17个黑色积木【例13】(武汉明欣杯数学挑战赛2005)如图所示，一个立方体的一个方向有洞，另一个方向有洞，第三个方向有洞，其余的体积是多少？表面积是多少？分析要计算体积：开洞，挖洞，开洞，挖出来；打开的洞，把它挖出来，剩余部分的体积为：(另一种解决方案)将整个图形切片。如果切割平面平行于纸张表面，则五个切片如下：获得的总体积为：寻找表面积：表面区域可以看作是外部和内部。外表面区域为，内表面区域可分为前部和后部。后、左、右、上、下三个方向，面积分别是，总表面积是。(可选)使用类似于三个视图的方法记录每个方向不同位置的裸方块数量：前后方向：上下方向：左右方向：总表面积为。结论“切片法”:全面打洞(例如，主题与五层相同)，分块成行(例如，主题基于前一层，一次一行)这里体现的思想是：把整体分成几部分，并有条不紊地思考！例14 (2009冬奥会高级组)右图中，(1)、(2)、(3)、(4)是同一个小等边三角形，(5)、(6)也是等边三角形，其边长是(1)、(7)、(8)、(10)的两倍，是同一个等腰直角三角形，(11)是正方形。然后，用(5)、(7)、(8)、(9)、(10)、(11)作为计划发展计划的三维图形的体积是用(1)、(2)、(3)、(4)作为计划发展计划的三维图形的体积的两倍。分析本主题中的两个图都是三维图的平面展开图。如果将它们简化为立体图，可以得到以下两个图：其中，左图是一个以(1) (2) (3) (4)为平面展开图的三维图形，它是一个四边都是正三角形的正四面体。右图是以(5) (6) (8) (9) (10) (11)为平面展开图的三维图形，为不规则图形，底面(11)、四边(7) (8) (10)和两个斜面(5) (6)。对于这两个三维图形的体积，我们可以使用嵌套的方法，也就是说，对于这种我们不熟悉的三维图形，我们使用一些我们熟悉的基本三维图形来嵌套，并查看与基本三维图形相比缺少了哪些部分。由于左边的四条边都是正三角形，右边的底部是正方形，边都是等腰直角三角形，人们认为它们都将被一个立方体覆盖。对于左图，它相当于从一个立方体上切掉4个角(如下图所示，切掉、)对于右图，它相当于从一个立方体上切掉2个角(如右图所示，切掉、)假设左图中立方体的边长为，右图中立方体的边长为，以(1) (2) (3) (4)为平面展开图的三维图形的体积为：立体图的体积以5 (6) (7) (9) (10) (11)为计划发展计划。由于右图中立方体的边长是问题中正方形的边长，而左图中立方体每个面的对角线正好是正三角形的边长，通过将等腰直角三角形分成四个相同的小等腰直角三角形，右图中立方体的边长是左图中立方体的两倍，即。那么以(1) (2) (3) (4)为平面布局的三维图形的体积与以(5) (6) (7) (9) (10) (11)为平面布局的三维图形的体积之比是：也就是说，以(6) (7) (9) (10) (11)为平面布局的三维图形的体积是以(1) (2) (3) (4)为平面布局的三维图形的体积的16倍。例15如图所示，一个物体由三个高度分别为米、半径分别为米、米和米的圆柱体组成。这个物体的表面积是多少？(拿着)分辨率从上