高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题

解三角形所需的知识和典型例题和详细的解一、知识必要：1 .直角三角形中各要素间的关系：在ABC中，C=90、AB=c、AC=b和BC=a。(1)三边之间的关系： a2 b2=c2。 (毕达哥拉斯定理)(2)锐角的关系： A B=90(3)角点间的关系：(锐角三角函数定义)sinA=cosB=、cosA=sinB=、tanA=。2 .斜三角形要素之间的关系：ABC中，a、b、c是其内角，a、b、c分别表示a、b、c的对边。(1)三角形的内角和： A B C=。(2)正弦定理：在一个三角形中，各边与其对角的正弦之比相等(r是外接圆半径)(3)馀弦定理：三角形任一边的平方，从其他两边的平方之和，等于该两边与它们所成的角的馀弦之积的两倍a2=b2 c2-2bccosA； b2=c2 a2-2cacosB； c2=a2 b2-2abcosC。3 .三角形的面积公式：(1)=aha=bhb=chc(ha、hb、hc分别表示在a、b、c上的高度)(2)=absinC=bcsinA=acsinB；4 .解三角形：根据三角形的六个要素(即三条边和三个内角)中的三个要素(其中至少一个是边)求其他未知要素的问题称为解三角形。 广义地，本文中所描述的元件可以包括三角形的高度、中线、平分线及外接圆半径、外接圆半径、面积等(1)两种正弦定理解三角形的问题：第1、已知两边和任意一边求其他两边和一角其次，已知的两个角及其一个对角求另一个角(2)两种馀弦定理解三角形的问题：第一、已知的三边求三角第二、已知两边和他们的角度求第三边和其他两边5 .三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述的式和上述的变换方法以外，还注意三角形自身的特征。(1)角的变换因为在ABC中A B C=，所以sin(A B)=sinC； cos(A B)=-cosC； 谭(ab )=-谭。灬(2)判定三角形形状时，可以利用正馀弦定理实现角的变化，统一成边的形状或角的形状。6 .解三角形适用问题的一般步骤：(1)分析：分析问题的意义，明确已知和要求(2)建模：把实际问题转换成数学问题，写出已知和求，画出示意图(3)求解：正确运用正、馀弦定理求解(4)检查：检查上述要求是否符合实际意义。二、典型的分析问题类型1 :正、馀弦定理在(1)中，已知解，cm，三角形在(2)中，已知解cm、cm、三角形(角度正确，边的长度正确到1cm为止)。解： (1)根据三角形的内角和定理灬根据签名定理根据签名定理(2)根据签名定理，所以或者当时当时，点评：应用正弦定理时，(1)用已知的两边和其中一边的对角解三角形时，必须注意有二解的可能性(2)在解三角形的复杂运算中可以使用计算机。题型2 :三角形面积例2 .那么，解法1 :首先解三角方程式，求角a的值。又来了，的双曲馀弦值。解法2 :计算的对偶关系式的值。，二得。-得。因此。省略以下解法。评分：该主题主要考察三角恒等变形、三角面积公式等基本知识，重视数学调查运算能力，是三角的基础问题。 比较两种解法，你觉得哪种解法比较简单？问题类型3 :三角形中的三角恒等变换问题例3 .在3.ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边长度，a、b、c为等比数列，且a2-c2=ac-bc，求出与a的大小的值。分析：因为给出了a、b、c之间的等量关系，所以需要求出a，寻找a与三边的关系，所以可利用馀弦定理。 从b2=ac变形为=a，通过正弦定理求出的值。解法1:a、b、c是等比数列， P2=PS。另外，a2-c2=ac-bc，8756； b2-a2=bc。在ABC中，根据馀弦定理，cosA=A=60。在ABC中，根据正弦定理A=60M=HHK 60=。解法2 :在2:ABC中由面积式得到bcsinA=acsinB。UUUUUR=UUR，UKUUUUUUUUUR UUR UUUUR UUHHK=Sina=。评论：解三角形时，三边角之间的关系常用馀弦定理，两边角之间的关系常用正弦定理。问题型4 :判定正、馀弦定理三角形形状在ABC中，如果2cosBsinA=sinC，则ABC的形状一定是()a .等腰三角形b .直角三角形c .等腰三角形d .等腰三角形回答： c解析：2Sina cosb=sinc=sin (ab )=sinacosbcosasinbsin(A-B)=0，A=B别解：角化边本问题考察了三角形的基本性质，通过观察、分析、判断明确解题的思路和变形方向，求得解题路线顺畅问题类型5 :用三角形评价问题例5 .的三个内角求出a为什么取值，求出最大值，求出该最大值。解析： A B C=、增益=-、cos=sin。cosa2cos=cosa2sin=1-2sin2sin=-2 (sin-) 2；sin=即A=时，cosA 2cos为最大值。点评：用三角恒等式简化三角因子，最终转换成一个角的三角函数形式，由三角函数的性质求出结果。问题类型6 :正馀弦定理的实用化例6.(2009辽宁卷文，理)如图所示，a、b、c、d位于与同一水平面垂直的平面内，b、d是两岛两个灯塔的塔顶。 测定船在水面a测得的b点和d点的仰角分别为水面c测得的b点和d点的仰角分别为AC=0.1km。 调查图中b、d间的距离与其他两点间的距离相等，求出b、d的距离(计算结果精确到0.01km、1.414、2.449 )。:是ABC中的873 DAC=30，873 DAC=60-873 DAC=30CD=AC=0.1和BCD=180-60-60=60因为CB是CAD的底边AD的垂线，所以在BD=BA、ABC中AB=因此，BD=因此，b、d的距离约为0.33km。评分：解三角形等内容涉及到高中学习，近年来加强了数形结合思想的考察和三角转换要求的降低，对三角的综合考察在三角形中发展成问题，但并不太难。 掌握基本知识、概念，深入理解其中的基本数量关系就能合格。三、思考总结1 .解斜三角形的通常想法如下(1)知道二角和一边(例如a、b、c )，根据A B C=求出c，根据正弦定理求出a、b(2)对于已知的两边和角度(例如a，b，c )，应用用馀弦定理求c边的正弦定理，先求短边的对角，然后用A B C=求另一边的角(3)知道两边和其中一边的对角(例如a，b，a )，应用正弦定理求出b，用A B C=求出c，用正弦定理或馀弦定理求出c边。 解决可能有各种各样的状况(4)已知三边a、b、c，用馀弦定理求出a、b，再用A B C=求出角c。2 .三角学中的射影定理：ABC中3 .两内角及其正弦值：ABC中4 .解三角形问题可能会产生一解、二解或不明白的情况。 在这种情况下，“应该结合三角形大边的大角定理和几何制图来帮助理解。三、放学后跟踪训练1.(2010上海文数18.)如果满足三个内角的话如果是()(a )一定是锐角三角形。(c )一定是钝角三角形，(d )可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形.分析：和根据正弦定理获得的a : b : c=5愚人节353011:13由于从馀弦定理获得，所以角c是钝角2.(2010天津数学式7 )在7)ABC中，内角a、b、c的对边分别为a、b、c，如果是A=()(A) (B) (C) (D )。【回答】a【解析】本题主要考察了正弦定理和馀弦定理的基本应用，属于中题。从正弦定理得到，cosA=，所以A=300【温暖的提示】解三角形的基本想法是，利用正弦馀弦定理将边变成角运算或角运算。在3.(2010湖北物理数)3.中，a=15、b=10、A=60，其中=A - B C - D【回答】d可以从正弦定理解，另外，因为b是锐角，所以d是正确的.4.(2010广东理数) 11.a、b、c分别是ABC的三个内角a、b、c的对边，a=1、b=，a=2b的话，sinC=。解：根据A C=2B和ac=180，根据B=60 .正弦定理，即，是已知的，如果5(2009湖南卷文)是锐角，则的值相等，的值范围是分析设定可以从正弦定理中得到用锐角又来了所以6.(2009全国卷I理)中，内角a、b、c的对边长度分别为、已知，求出b分析：这个问题实际上很简单，但不知道考生的反应是从哪里来的。 已知条件(1)的左侧是二次右侧是一次，学生总是觉得用馀弦定理无法处理。 也有学生对已知条件(2)不太关注二角和差的正弦式，现在没有想到的积化和差找不到突破口而失分了。解法：其中正弦定理和馀弦定理有：(角化边)简化整理：又为人所知能解开7.ABC中，a、b、c成为等差数列而求出的值是已知的。分析： a、b、c为等差数列，另外因为A B C=180，所以A C=120因此=60，所以tan .可以从平方和的正切公式中得到。所以的双曲正切值。点评：三角函数评价问题中解题的想法，一般用基本式，把未知角转换成已知角来解，同时结合三角转换式的逆用。8.(2009四川卷文)中，角为锐角，成对的边分别为角，并且(I )求出的值(II )如果求出的值。解(I )PS是锐角2220喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地(II )从(I )中知道，87由得也就是说又镜2222222209.(2010陕西文数17 ) (本小题满分12分)在ABC中，已知B=45，d是BC边上的点求出AD=10、AC=14、DC=6、AB的长度.在ADC中，AD=10、AC=14、DC=6从馀弦定理得到cos=，ADC=120，ADB=60在Abd中AD=10，B=45，ADB=60从正弦定理PD=10.(2010辽宁文数17 ) (本小题满分12分)那么，分别是内角的对边然后(I )求得的大小(ii )如果，试判的形状解： (I )已知的，由签名定理得出也就是说从馀弦定理得到故(ii )从(I )中得到再见因为。所以是等腰的钝角三角形。11.(2010辽宁理数) (17 ) (本小题满分12分)ABC中，a、b、c分别为内角a、b、c的对边，并且(I )求a的大小(ii )求出的最大值解： (I )已知的，由签名定理得出也就是说从馀弦定理得到因此，A=120 6分(ii )由(I )得到因此，在B=30的情况下，sinB sinC取最大值1。补充：海伦公式：有一个三角形，边的长度分别为a、b、c，三角形的面积s通过下式求出公式p是半周长(周长的一半)基本关系的变化：倒数关系：灬商品关系：平方关系：灬和差方式和差化积口诀：正、正、正、正、正、正、正、正、正、正、负符号积和差倍方式双倍角三倍角三倍方程式的导出sin(3a)3sina-4sin3a=sin(a 2a )=sin2acosa cos2asina=2Sina (1- sin 2a ) (1-2sin 2a ) Sina=3sina-4sin3acosa3a4cos3a-3cosa=cos(2a a )=cos2acosa-sin2asina=(2cos 2a-1 ) cosa-2 (1- cos 2a ) cosa=4cos3a-3cosasin3a4sinasin(60 a)sin(60-a )=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a )=4Sina-Sina=4sina(sin60 sina)(sin60-sina )=4sin *2sin /2 cos /60-a /2 *2sin /60-a /2 cos /60 a /2 =4信噪比(60 a )信噪比(60-a )cos3a4cosacos(60-a)cos(60 a )=4cos3a-3cosa=4c