模糊数学模型王利永

数学建模思想方法,模糊数学模型,主讲人:王利永,2020年6月13日,1,课题综述,模糊性的产生源于模糊概念，所谓模糊概念是指有一定内涵但没有明确外延的概念。例如，“青年”这一概念，哪个年龄段的人是青年很难说清楚，这就是一个模糊概念。换句话说，模糊性就是指客观事物差异的不分明性。模糊数学是用数学方法研究与处理模糊现象的数学；它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一门新的数学学科。模糊数学诞生于1965年，它的创始人是美国自动控制专家查德(L.A.Zadeh)教授。他在第一篇论文“模糊集合”(fuzzyset)中，建立了模糊集合论，引入了“隶属函数”这个概念来描述差异的中间过渡，这是精确性对模糊性的一种逼近。隶属函数的引入标志着模糊数学的建立，查德教授首次成功地运用了数学方法描述模糊概念。,2020年6月13日,2,讲课内容,一、模糊数学的基本概念二、模糊关系与模糊矩阵三、模糊综合评判方法四、模糊决策的应用实例五、模糊聚类分析方法,2020年6月13日,3,一、模糊数学的基本概念,1.1模糊集与隶属函数1.2模糊集的表示方法1.3模糊集的运算1.4模糊集A的截集1.5隶属函数的确定,2020年6月13日,4,1.1模糊集与隶属函数,定义：论域U到0，1闭区间上的任意映射：都确定U上的一个模糊集合A，叫做A的隶属函数，叫做x对模糊集A的隶属度，记为：使的点x0称为模糊集A的过渡点，此点最具模糊性。模糊集合A完全由隶属函数来刻画，当时，A退化为一个普通集。,2020年6月13日,5,1.1模糊集与隶属函数,模糊数学的简单原理：1模糊集：对于传统集合，一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，我们用1表示元素属于该集合，用0表示元素不属于这个集合。模糊集合论认为，一个元素可以不完全属于一个集合，用0，1之间的一个数来表示一个元素属于一个集合的程度，这个数叫做该元素属于该集合的隶属度。2模糊概念的清晰化：我们可以设定一个数（比如0.5），当一个元素的隶属度大于这个数时，我们就可以认为该元素属于这个集合，这就是模糊概念的清晰化。,2020年6月13日,6,1.2模糊集的表示方法,对于有限论域，则U上的模糊集A有三种表示方法：,（1）zadeh（查德）表示法：注：“”和“+”不是求和的意思，只是概括集合诸元的记号；“”不是分数，它表示点对模糊集A的隶属度是。（2）序偶表示法：（3）向量表示法：,如果U为无限论域，则U上的模糊集A表示为：注：“”不是积分的意思，“”不是分数。,2020年6月13日,7,1.2模糊集的表示方法,例1设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数可定义为,用zadeh表示法：用向量表示法：A=(0，0.2，0.4，0.6，0.8，1),2020年6月13日,8,2020年6月13日,9,1.3模糊集的运算,论域U上的模糊集A，B，其隶属函数为,（1）包含：若对任意xU，有，则称A包含B，记为BA；（2）相等：若AB且BA，则称A与B相等，记为A=B；（3）并：（4）交：（5）补：,2020年6月13日,10,1.3模糊集的运算,例2U=1，2，3，4，5，6，7，8，,2020年6月13日,11,1.4模糊集A的截集,设A是一个模糊集，对任意，则普通集合称为A的截集。,例3论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则,A0.9(90分以上者)=u5,u6,A0.6(60分以上者)=u2,u3,u4,u5,u6。,2020年6月13日,12,1.4隶属函数的确定,（1）模糊统计法,（1）论域U；（2）U中的一个固定元素（3）U中的一个随机运动集合（4）U中的一个以作为弹性边界的模糊子集A，制约着的运动。可以覆盖也可以不覆盖，致使对A的隶属关系是不确定的。,特点：在各次试验中，是固定的，而在随机变动。,模糊统计试验的四个要素：,2020年6月13日,13,1.4隶属函数的确定,（1）做n次试验，计算出,（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为,模糊统计试验过程：,例：对129人进行调查,让他们给出“青年人”的年龄区间,2020年6月13日,14,1.4隶属函数的确定,问年龄属于模糊集A（青年人）的隶属度。,对年龄27作出如下的统计处理：,2020年6月13日,15,1.4隶属函数的确定,（2）指派方法,这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。,偏小型模糊分布一般适合于描述像“小，少，浅，淡，冷，疏，青年”等偏小的程度的模糊现象。偏大型模糊分布一般适合于描述像“大，多，深，浓，热，密，老年”等偏大的程度的模糊现象。中间型模糊分布一般适合于描述像“中，适中，不太多，不太少，不太深，不太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现象。,2020年6月13日,16,1.4隶属函数的确定,例：在论域中，确定A=“靠近5的数”的隶属函数,可以选取柯西分布中间类型的隶属函数,中间型,先确定一个简单的，比如,此时有,不太合理，改变,此时有,2020年6月13日,17,2020年6月13日,18,2020年6月13日,19,二、模糊关系与模糊矩阵,2.1模糊关系与模糊矩阵概念2.2模糊矩阵的运算及其性质,2020年6月13日,20,定义1：设论域U，V，乘积空间上UV=(u,v)uU,vV上的一个模糊子集R为从集合U到集合V的模糊关系。如果模糊关系R的隶属函数为：则称隶属度为(x,y)关于模糊关系R的相关程度。,2.1模糊关系与模糊矩阵概念,定义2：设R为从从U到V的模糊关系，其隶属函数为，对任意的有记则R称为模糊矩阵。,如果则称R为布尔(Bool)矩阵；当模糊方阵的对角线上的元素都为1时，则称R为模糊自反矩阵；当m=1时，相应的模糊矩阵为，则称R为模糊行向量；当n=1时，相应的模糊矩阵为则称R为模糊列向量。,2020年6月13日,21,例4设评定科研成果等级的指标集U=(x1，x2，x3，x4，x5)，x1表示为科研成果发明或创造、革新的程度，x2表示安全性能，x3表示经济效益，x4表示推广前景，x5表示成熟性；V表示定性评价的评语论域V=(y1，y2，y3，y4)，y1，y2，y3，y4分别表示很好、较好、一般、不好。通过专家评审打分，按下表给出UV上每个有序对(xi，yi)指定的隶属度。,由此确定一个从U到V的模糊关系R，这个模糊关系的隶属度函数是一个54阶的矩阵，记为：,则R为一个模糊关系矩阵,2.1模糊关系与模糊矩阵概念,2020年6月13日,22,2.1模糊矩阵的运算及其性质,模糊矩阵间的关系及并、交、余运算设都是模糊矩阵。,相等：包含：并：交：余：,例5设则,2020年6月13日,23,2.1模糊矩阵的运算及其性质,(2)模糊矩阵的合成,称模糊矩阵,为A与B的合成，其中,例6,(3)模糊矩阵的转置,其中,模糊方阵的幂定义,2020年6月13日,24,2.1模糊矩阵的运算及其性质,(4)模糊矩阵的截矩阵,显然，对于任意的0,1,截矩阵是布尔矩阵。,例7,2020年6月13日,25,三、模糊综合评判方法,模糊综合评判是应用模糊数学方法对所论对象的多种特性进行综合，从而将这些对象进行排序，或者按某种方法从论域中选出最优对象，模糊综合评判又称为模糊综合决策。模糊综合评判的一般方法如下：,第一步:确定因素集因素集又称为指标集，它的元素是研究对象的n种因素或指标，一般都是很明确的。第二步:确定评判集评判集又称为评语集、评价集、决策集等，该集的元素个数和名称由评判者根据实际问题确定。第三步:确定模糊评判矩阵,2020年6月13日,26,三、模糊综合评判方法,在对研究对象做模糊多因素综合评判之前，先要对每个单因素做模糊评判。由于模糊评判的评判集是模糊的，对单因素的模糊评判是评判集上的模糊子集，设对单因素的模糊评判为,上述n个模糊评判诱导出UV上的一个模糊关系R，其隶属函数为,R的模糊关系矩阵,称为模糊评判矩阵。,因为一旦已知U，V，R三要素，就可以对各种对象进行综合评判，所以称（U，V，R）为模糊综合评判模型。,2020年6月13日,27,三、模糊综合评判方法,第四步:综合评判在得到评判模型（U，V，R）之后，只得到对单因素的模糊评判。对研究对象做模糊综合评判还要将各个单因素的模糊评判做信息集中。由于模糊评判的评判集是模糊的，模糊综合评判也应该是评判集上的一个模糊子集,综合评判Y依赖各个单因素的权重，而这组权重是因素集上的模糊子集，记为用取大、取小的合成运算，可以有一种模糊综合评判,第五步：最大可能评判如果，那么认为综合评判的最大可能是,2020年6月13日,28,三、模糊综合评判实例,例8水污染模糊综合评价,环境水文地质评价内容之一是对城市地下水污染程度的评价，某市水质评价分级表如下：,单位：mg/L(毫克/升),在58号检测点实测数据是酚0.0019，氰0.0004，砷0.004，铬0.004，汞0（mg/L），试用模糊综合评判来评价该市的工业污染对地下水质的影响程度。,2020年6月13日,29,三、模糊综合评判实例,第一步:因素集（评价指标集）是,=酚，氰，砷，铬，汞,第二步:评判集（污染级别集）是,=微污染，轻污染，中污染，重污染，严重污染,第三步:确定模糊评判矩阵,首先，用隶属函数表示污染程度，仅举出58号检测点关于酚的隶属函数如下：,2020年6月13日,30,三、模糊综合评判实例,将58号检测点所测酚的检测值代入上述5个隶属函数得检测值归属5个污染级别的隶属度，即对指标酚的模糊评判为：,类似地，可以分别求得氰，砷，铬，汞的隶属函数并计算出58号检测点所测氰，砷，铬，汞的检测值的隶属度（略）。从而构成模糊矩阵：,2020年6月13日,31,三、模糊综合评判实例,2020年6月13日,32,第四步:模糊综合评判,(1)计算指标权重:记为第指标实测值，,为该指标在水质评价分类表中五个数据的平均值，,第指标权重为:,从而得上模糊子集:,三、模糊综合评判实例,2020年6月13日,33,三、模糊综合评判实例,(2)模糊矩阵乘法运算,表示权重的模糊子集与表示隶属度的模糊矩阵作乘法，而获得模糊综合评价,2020年6月13日,34,第五步:最大可能评判,三、模糊综合评判实例,可见级的隶属度0.824最大。所以，58号点最大可能评价为中污染水质。如果对各个检测点按上述方法评价，可的水质评价的平面图。,2020年6月13日,35,四、模糊决策的应用实例,模糊数学在数学建模中主要用于模糊决策，这也是决策论中很重要的一部分内容，以下举例说明。,有7名同学进行了毕业论文的答辩，有10位教授要对同学的答辩做出评分，评分采取等级制，各等级的分数如下：,将参加评选的同学进行两两比较评分，例如x1x2（以先评价的x2为基准，后评价的x1为对象进行相对比较评分）。比如10人所给相加的总分为80分，则学生x1对x2的优先选择比为（其中分母100为10个教授都给最高分时的总分）相应的x2对x1的优先选择比为。利用上面的方法便可以得到下表：,2020年6月13日,36,2020年6月13日,37,四、模糊决策的应用实例,于是可以得到优先选择矩阵：,2020年6月13日,38,四、模糊决策的应用实例,截矩阵的第一行元素都等于1，说明只有x1的优越度超过了0.70，所以学生x1为第一优越对象。,除去中第一优越对象所在的行和列，得到新的模糊优先关系矩阵为：,2020年6月13日,39,四、模糊决策的应用实例,截矩阵的第一行元素都等于1，取x2为第二优越对象。,除去中第二优越对象所在的行和列，得到新的模糊优先关系矩阵为：,2020年6月13日,40,四、模糊决策的应用实例,X7为第三优越对象,X6为第四优越对象,2020年6月13日,41,四、模糊决策的应用实例,X3为第五优越对象,X5为第六优越对象,因此七名同学的排名为：x1，x2，x7，x6，x3，x5，x4,2020年6月13日,42,五、模糊聚类分析方法,一、基本概念及定理,定义5.1：设是n阶模糊方阵，I是n阶单位方阵，若R满足,自反性：对称性：传递性：,则称R为模糊等价矩阵。,定理5.1：设是n阶模糊等价矩阵，则,是n阶等价布尔矩阵。,2020年6月13日,43,五、模糊聚类分析方法,定理5.2：设是n阶模糊等价矩阵，则,所决定的分类中的每一个类是所决定的分类中的某个子集。,该定理表明，当时，的分类是分类的加细，当由1变到0时，的分类由细变粗，形成一个动态的聚类图。,例：设对于模糊等价矩阵,当时，分类为,当时，分类为,当时，分类为,当时，分类为,当时，分类为,2020年6月13日,44,五、模糊聚类分析方法,画出动态聚类图如下：,2020年6月13日,45,五、模糊聚类分析方法,定义5.2：设是n阶模糊方阵，I是n阶单位方阵，若R满足,自反性：对称性：,则称R为模糊相似矩阵。,定理5.3：设R为模糊相似矩阵，则存在一个最小的自然数k(kn)，使得Rk为模糊等价矩阵，且对一切大于k的自然数l，恒有,Rk称为R的传递闭包矩阵，记为t(R)。,2020年6月13日,46,五、模糊聚类分析方法,例10：设,容易验证，R为模糊相似矩阵，用平方法求其传递闭包t(R)。,故传递闭包,容易验证t(R)是模糊等价矩阵。,2020年6月13日,47,五、模糊聚类分析方法,二、模糊聚类分析方法的一般步骤,、建立数据矩阵,设论域为被分类对象，每个对象又由m个指标表示其性状：,则得到原始数据矩阵为,说明：在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵X作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。,2020年6月13日,48,五、模糊聚类分析方法,（1）标准差标准化,对第个变量进行标准化，就是将换成，即,（2）极差正规化,（3）极差标准化,2020年6月13日,49,（4）最大值规格化,五、模糊聚类分析方法,、建立模糊相似矩阵（标定