解析几何-知识点总结-大量练习

解析几何知识点一、基本内容直线方程式1、直线方程式确定直线方程式需要两个独立的条件，一个是直线必须通过已知点。 确定直线方程式的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程式的适用范围。2、两条直线的位置关系两条直线的角度，两条直线的斜率k1、k2都存在，k1k2-1时，不存在直线的斜率时，必须与模式一起判断，并注意角度公式和角度公式的差异(2)在判断两条直线是平行还是垂直的情况下，若存在两条直线的倾斜，则能够以倾斜的关系进行判断，但是若不存在直线的倾斜，则必须以通式的平行垂直条件进行判断.3 .要注意在学习中应用数学思想，在把几何图形的研究变成代数式的研究的同时，也要理解代数问题的几何意义(2)圆的方程式(1)圆的方程式1、掌握圆的标准方程式和一般方程式，能很好地相互变换，一般来说，只有有三个条件(独立)才能确定圆方程式。 求圆方程式时，如果条件与圆心相关，一般容易使用标准类型，如果知道圆上的三点，则使用通式很方便，注意使用圆的几何性质，简化运算，有时，即使利用圆系方程式也能简化解题过程。2、圆的标准方程式为(x-a)2 (y-b)2=r2的一般方程式x2 y2 Dx Ey F=0，中心坐标，半径为。3 .圆(x-a)2 (y-b)2=r2，如果满足a2 b2=r2的条件，则圆可以越过原点，如果满足a=0，r0的条件，中心可以在y轴上。如果满足，则圆可以与x轴相切。如果满足条件，则圆4、假设圆的直径为A(x1，y1)B(x2，y2)，则使用圆周上的任意点P(x，y )，求出圆方程式(x-x1)(x-x2) (y-y1)(y-y 2)=0(2)直线和圆的位置关系解决的问题中，结合圆的几何性质，利用图形的几何特征，尽量简化运算，研究直线和圆的位置关系时，一般不要用0、=0、0，而是用从中心到直线的距离dr分别决定相关交接、分离的位置关系在与圆切线相关的情况下，考虑与切线垂直的半径，计算交弦长时，用半径、弦心距离、半弦构成直角三角形，当然不会失去一般的弦长公式已知的o1: x2y2=r 2，444卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡6 O3:x2 y2 Dx Ey F=0以M(x0，y0)为接点的O1切线方程式为xx0 yy0=r2； o2切线方程式条切线、切线弦方程式： xx0 yy0=r2(3)曲线和方程式(1)在平面内建立直角坐标系之后，坐标平面内的动点可以用规则实数对x，y表示，这是动点的坐标(x，y )。 在点通过某一规则运动形成曲线的情况下，动点坐标(x，y )的变量x、y存在某种制约关系，该制约关系反映在代数上，变量x、y方程式F(x，y)=0.曲线c和方程式F(x，y)=0的这种对应关系还需要满足以下两个条件(1)曲线上的点的坐标都是这个方程式的解(2)以这个方程式的解为坐标的点都在曲线上。 此时，我们可以把这个方程式称为曲线的方程式，把这个曲线称为方程式的曲线。 此时，曲线和方程式处于相同关系的两种不同表现形式的曲线性质完全反映在该方程式上，方程式的性质完全反映在该曲线上。 这样，就可以利用方程研究曲线，构成几何中解决问题的基本思想曲线和方程式对应于应满足的两个条件，其中条件(1)是曲线上没有坐标不满足方程式的点，即曲线上的所有点符合该条件没有例外，表示曲线具有纯粹性的条件(2)是，符合条件的所有点在曲线上没有欠缺(2)求曲线方程的五个步骤：(1)建立合适的直角坐标系，建立用(x，y )表示曲线上任意点m的坐标的坐标(2)写出适合条件p的点m的集合P=M|P(M)(3)用坐标表示条件P(M )，列举方程式f(x，y)=0列式.(4)化方程式f(x，y)=0是最简单的方程式化简化(5)证明以简化方程式的解为坐标的点是该曲线上的点。除了个别的情况，简化过程都是同解变形过程，可以不写步骤(5)，也可以省略步骤(2)，直接列举曲线方程式(3)求曲线方程式主要有四种方法(1)条件直译法：如果点运动规律是几个几何量的等量关系，这些条件就简单、明确、容易表现，我们可以把这些关系直译成包含“x，y”(或，)的方程式，我们称之为“直译法”。(2)代入法(或利用相关点的法):虽然很难求出运动点满足的几何条件，但它有时会因其他运动点的运动而运动，称为相关点。 如果相关点满足的条件简洁明确，则用运动点坐标表现相关点的坐标，如果用条件直译法表现相关点的轨迹，则可以得到原运动点的轨迹(3)几何法：利用平面几何和分析几何的知识分析图形的性质，发现运动规则(4)参数法：有时很难直接找到运动点的横纵轴间的关系。 如果利用中间参数(参数)，连接x、y之间的关系，从求出的公式中消除参数，就能得到运动点的轨迹方程式(4)圆锥曲线(1)椭圆(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(|F1F2|)的点的轨迹称为椭圆，这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点间的距离称为焦距。此处应特别注意常数大于|F1F2|是因为，在平面内的动点与定点F1、F2的距离之和为|F1F2|时，其动点轨迹为线段F1F2(2)椭圆的标准方程式将其称为标准方程式，是因为其形式最简单，与利用对称性建立正交坐标系有关。 同时，也应该注意以下几点1 )标准方程式中的两个参数a和b决定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件2 )焦点F1、F2的位置是椭圆的定位条件，决定椭圆的标准方程式的类型。 也就是说，知道焦点位置，那个标准方程式只有一种形式，不知道焦点位置，那个标准方程式有两种类型3 )任何椭圆只需选择适当的坐标系，该方程式就能写出标准形式，只有在椭圆的中心位于原点，其焦点位于坐标轴上时，椭圆的方程式才具有标准形式。1 )范围：焦点位于x轴时，椭圆位于由直线x=a和y=b包围的矩形上.2 )对称性：椭圆相对于x轴，y轴和原点对称，此时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。3 )顶点：将椭圆与对称轴交点为椭圆的顶点A1(-a，0)A2(a，0)B1(0，b)B2(0，-b )线段A1A2、B1B2分别称为椭圆的长轴、短轴、长度分别称为2a、2b .1.e越接近1，椭圆越扁平，相反e越接近0，椭圆越接近圆.5 )焦点半径：把椭圆的到任点到焦点的距离作为焦点半径如图所示，当焦点位于x轴上时，从任意点到左焦点焦点半径为r1=a ex0 .6)|A1F1|=a-c |A1F1|=a c10 )椭圆的第二定义：平面内的点到点的距离和到直线的距离之比是常数e(e1=的点的轨迹)(3)圆锥曲线名字称椭圆形双曲线图大象制定规定义到平面内两点的距离之和为常数(更大)的动点的轨迹称为椭圆22的情况下，轨迹是椭圆如果2=2，则轨迹为线段22的情况下，不存在轨迹平面内两点之间的距离差绝对值为常数(小于)的动点轨迹称为双曲线2、2时，轨迹是双曲线如果2=2，则轨迹为两条线22的情况下，不存在轨迹目标准方程如果轴有焦点：如果轴有焦点：如果轴有焦点：如果轴有焦点：常数的关系，最大，很好，最大，很好渐渐地最近线如果轴有焦点：如果轴有焦点：抛物线：图形方程式对准焦点准线【典型例题】例1、通过点p (2，1 )直线分别与x轴和y轴的正半轴和a、b两点相交.求出取最小值时的直线的方程式.解：设直线方程式为，8756； 也就是说最小值是8仅在a=2b、即a=4、b=2的情况下取等号。 求出直线的方程式是x 2y-4=0.通过点p (2，1 )的直线分别与x轴和y轴的正半轴和a、b两点相交.求出取最小值时的直线的方程式.解：显然存在直线的斜率，设该方程式为y-1=k(x-2 )，则a由，2222222222222222222当时只取等号的时候，8756； 的最小值为4时，直线的方程式为x y-3=0.例2，已知的甲、乙、丙三种食物的维生素a、b的含量和成本如下表所示，将甲、乙、丙三种食物以各x公斤、y公斤、z公斤混合100公斤的混合食物中，混合食物中至少有56000单位的维生素a和63000单位甲乙丙维生素a (单位/公斤)600700400维生素b (单位/公斤)800400500成本(元/公斤)1194(I )混合食物成本c元以x、y表示(ii )决定x、y、z的值，使混合物的成本最低解： (I )从问题出发，还有，所以(ii )由得所以，只有那时，即时等号成立因此，x=50、y=20、z=30时，混合物的成本最低，为850元.本问题是线性规划问题，从解析几何学的观点出发，问题的解实际上是4条直线包围的区域中最大的点。 应该在点m (50，20 )处获取的事情很容易发现。例3、如图所示，搭载了重症患者的列车从o地点出发，向放射线OA的方向行驶。 其中，o地点(正常数)公里，北偏东角的n地点住着医学专家现在120指挥中心紧急移动了o地正东p公里b的救护车，在n处载有医学专家，全力赶到载有重症患者的列车，在c处相遇。 据估计，车辆行驶路线和OB包围的面积s最小时，急救最快(1)以o为原点，以正北方向为轴的平面是笔直的在角坐标系中，求出放射线OA存在的直线方程式(2)求与s的p相关的函数关系式(3)p为什么有值的情况下，急救最快？解： (1)因为能得到，所以直线方程式是(2)因为设置了，所以另外，直线方程式由得c的纵轴所以面积是从(3)到(2)。所以所以，到了千米，急救是最快的例4、某学校一年级学生配合素质教育，把教室用作学生绘画的成果展示室，为了节约经费，他们把桌子作为展示台，把装饰着画的镜框放在桌子上，斜着展示，镜框相对于桌子的倾斜角为(900)，为了使看画的效果最佳，ACB必须取最大值。根据三角函数的定义，a、b的两点坐标分别为(acos、asin)，若设为(bcos、bsin)，则直线AC、BC的倾斜度分别如下.PS=PPS=，谭UUUUUUURACB为锐角，且x0，因此tanACB，其中=x即，在x=时，等号成立，此时ACB取最大值，对应点为c (，)，所以在学生离开镜框下缘cm时，视角最大，观看画是最有效的.已知在例5、平面直角坐标系中，矩形ABCD的长度为2，宽度为1、AB、AD的边分别在x轴、y轴的正半轴上，a点与坐标原点重叠(未图示).(I )设有折痕的直线的斜率为k，尝试写出有折痕的直线的方程式(ii )求折痕长度的最大值解： (I)(1)此时，a点和d点重叠，有折痕的直线方程式y(2)此时，把矩形折断的a点落在线段CD上的点为G(a，1 )，因此a和g关于折痕某条直线是对称的，有因此，g点坐标是有折痕的直线和OG的交点坐标(线段OG的中点)是折痕某个直线方程式，即从(1)(2)得到具有折痕的直线方程式(II )有折痕的直线和坐标轴的交点坐标为当a和d重叠时，可以知道k=-2 .(1)当时，直线BC为是.(2)当时，命令解释，此时，2222222222222226(3)当时，直线与直流交叉折痕长度的最大值是如图所示，通过城市开发区中心o的两条南北和东西走向的街道，连接两地之间的铁路是圆心上的圆弧。 如果点m是点o的正北方向，且距点n的距离分别为4km、5km。(1)建立适当的坐标系，求出有铁路的圆弧方程式(2)如果这个城市的某中学打算在点o的正东方向设立分校的话，考虑到环境问题，从学校的地址到点o的距离很大，从铁路上的任意点到学校的地址的距离必须很小，求出从该学校的地址到点o的最近的距离解： (1)已知分别确立轴和轴的坐标系，另外线段的中点为，所以线段MN的垂直二等分线的方程式为，所以中心的坐标为半径，所以求出的圆的方程式为，所以有求出圆弧的方程式(2)选择学校地址，对恒成立也就是说恒等式成立并被整理好了由于指令已经成立，并且因为指令能自可能的数据，所以该指令在区间中是减法函数，并且只有当天和才能成为可能也就是说，解的得到，即学校的地址应该选在离点最近的地方。已知抛物线的直线和抛物线在两点相交，超过两点的圆和抛物线在点具有相同的切线，求出圆的方程式。点拨盘：两曲线