(剪力图与弯矩图)

,第7章弯曲强度,工程力学（静力学与材料力学）,第二篇材料力学,杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲。主要承受弯曲的杆件称为梁。,在外力作用下，梁的横截面上将产生剪力和弯矩两种内力。,在很多情形下，剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是均匀的。,对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这些横截面称为危险面。弯矩和剪力最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。研究梁的变形和刚度虽然没有危险面的问题，但是也必须知道弯矩沿梁长度方向是怎样变化的。,第7章弯曲强度,弯曲时，由于横截面上应力非均匀分布，失效当然最先从应力最大点处发生。因此，进行弯曲强度计算不仅要考虑内力最大的“危险截面”，而且要考虑应力最大的点，这些点称为“危险点”。,绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，剪应力的影响是次要的。本章将主要确定梁横截面上正应力以及与正应力有关的强度问题。,本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；怎样根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图与弯矩图，讨论载荷、剪力、弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用；然后应用平衡、变形协调以及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲强度设计方法。,屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两边各开一个半圆孔可以吗？,梁为什么做成变截面的？,孔开在哪里最合理?,梁为什么可以开孔？,7-1工程中的弯曲构件,7-3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,7-4载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,7-2梁的剪力和弯矩,第7章弯曲强度(1)弯曲内力,返回总目录,7-5与应力分析相关的截面图形几何量,桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布载荷q)的作用下,大梁将发生弯曲。,7-1工程中的弯曲构件,一.工程实例,石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。,火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可以简化为两端外伸梁。由于轴自身重量与车厢以及车厢内装载的人与货物的重量相比要小得多，可以忽略不计，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。,二、基本概念,2、梁,外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.,(1)受力特征,(2)变形特征变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.,1、弯曲变形,三、受弯杆件的简化,1.杆件本身的简化：通常取梁的轴线代替梁。,2.载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。,固定铰支座2个约束，1个自由度。,可动铰支座1个约束，2个自由度。,3.支座简化,固定端3个约束，0个自由度。,4.梁的三种基本形式,简支梁,悬臂梁,外伸梁,跨度：简支梁或外伸梁的两个绞支座之间的距离。悬臂梁的跨度是固定端到自由端的距离。,一、内力计算,例1已知如图，F，a，l.求距A端x处截面上内力.,解:解除约束，求支座反力,7-2梁的剪力和弯矩,求内力截面法,1、弯矩M:构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩.,2、剪力FS:构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力.,弯曲内力,二、内力的符号规定,1、剪力符号,剪力Fs:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。,弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。,Fs(+),Fs(),Fs(),Fs(+),M(+),M(+),M(),M(),解,(1)求梁的支反力RA和RB,例2图示梁的计算简图。已知F1、F2，且F2F1，尺寸a、b、c、d和l亦均为已知.试求梁在E、F点处横截面处的剪力和弯矩.,记E截面处的剪力为FSE和弯矩ME，且假设FSE和弯矩ME的指向和转向均为正值.,解得,取右段为研究对象,计算F点横截面处的剪力FSF和弯矩MF.,三、计算规律,1、剪力,2、弯矩,不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩,而向下的外力则引起负值的弯矩.,左侧梁段顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩,逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩,右侧梁段逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩,顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩,例3轴的计算简图如图所示，已知F1=F2=F=60kN，a=230mm,b=100mm和c=1000mm.求C、D点处横截面上的剪力和弯矩.,解,(1)求支座反力,(2)计算C横截面上的剪力FSC和弯矩MC.,看左侧,(3)计算D横截面上的剪力FSD和弯矩MD.,看左侧,解,例题4求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.,(1）求支座反力,(2）求1-1截面的内力,(3）求2-2截面的内力,7-3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,FS=FS(x),M=M(x),一、剪力方程和弯矩方程用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.,1、剪力方程,2、弯矩方程,为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁的左端，x坐标轴的正方向自左至右，y坐标轴铅垂向上。,建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外力(包括载荷和约束力)作用状况，确定要不要分段，以及分几段建立剪力方程和弯矩方程。,确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假设这一横截面的坐标为x；然后从这一横截面处将梁截开，并假设所截开的横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)都是正方向；最后分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FS(x)和弯矩M(x)的表达式，这就是所要求的剪力方程FS(x)和弯矩方程M(x)。,建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。,弯矩图为正值画在x轴上侧，负值画在x轴下侧,二、剪力图和弯矩图,剪力图为正值画在x轴上侧，负值画在x轴下侧,以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图,外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.,(1)受力特征,(2)变形特征变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.,弯曲变形,弯曲内力,1）剪力Fs:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。,2）弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。,Fs(+),Fs(),Fs(),Fs(+),M(+),M(+),M(),M(),剪力和弯矩,1.内力的符号规定,2.计算规律,1、剪力,2、弯矩,不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩,而向下的外力则引起负值的弯矩.,左侧梁段顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩,逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩,右侧梁段逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩,顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩,例题5,悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M2FPl的作用。梁的全长为2l。,试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。,解：1分段,本例将通过考察截开截面的右边部分平衡建立剪力方程和弯矩方程，因此可以不必确定左端的约束力。,2建立Oxy坐标系以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系。,由于梁在固定端A处作用有约束力、自由端B处作用有集中力、中点C处作用有集中力偶，所以，因此，需要分为AC和CB两段建立剪力和弯矩方程。,3建立剪力方程和弯矩方程,在AC和CB两段分别以坐标为x1和x2的横截面将梁截开，并在截开的横截面上，假设剪力FS(x1)、FS(x2)和弯矩M(x1)、M(x2)都是正方向，然后考察截开的右边部分梁的平衡，由平衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。,对于AC段梁的剪力和弯矩方程，在x1处截开后，考察右边部分的平衡。,根据平衡方程,得到AC段的剪力方程与弯矩方程：,得到CB段的剪力方程与弯矩方程：,上述结果表明，AC段和CB段的剪力方程是相同的；弯矩方程不同，但都是x的线性函数。,对于CB段梁的剪力和弯矩方程，在x2处截开后，考察右边部分的平衡。,根据平衡方程,例题6如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载F作用,试作此梁的剪力图和弯矩图.,解(1)将坐标原点取在梁的左端，列出梁的剪力方程和弯矩方程,例题7图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.,解(1)求支反力,(2）列剪力方程和弯矩方程.,剪力图为一倾斜直线.,绘出剪力图.,弯矩图为一条二次抛物线.由,令,得驻点,弯矩的极值,绘出弯矩图,由图可见，此梁在跨中点截面上的弯矩值为最大,但此截面上FS=0,两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大,解求梁的支反力,例题8图示的简支梁在C点处受集中荷载P作用.试作此梁的剪力图和弯矩图.,因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段写剪力方程和弯矩方程.,将坐标原点取在梁的左端,AC段,CB段,由(1),(3)两式可知,AC,CB两段梁的剪力图各是一条平行于x轴的直线.,由(2),(4)式可知,AC,CB两段梁的弯矩图各是一条斜直线.,结论：在集中载荷作用处的左，右两侧截面上剪力值(图)有突变.突变值等于集中载荷F.弯矩图形成尖角，该处弯矩值最大.,2、以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处，及支座截面处为界点将梁分段.分段写出剪力方程和弯矩方程，然后绘出剪力图和弯矩图.,1、取梁的左端点为坐标原点，x轴向右为正;剪力图向上为正；弯矩图向上为正.,5、梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或Fs=0的截面处.,剪力方程、弯矩方程及剪力图和弯矩图,3、梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力（图）有突变，其突变值等于集中力的数值.在此处弯矩图则形成一个尖角.,4、梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.但在此处剪力图没有变化.,x,m,m,n,n,dx,写出平衡方程,得到,略去二阶无穷小量即得,7-4剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系,一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系,公式的几何意义,（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小.,（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小.,M(x)图为一向上凸的二次抛物线.,FS(x)图为一向右下方倾斜的直线.,二、q(x)、Fs(x)图、M（x）图三者间的关系,1、梁上有向下的均布荷载，即q(x)0时，向右上方倾斜.,当FS(x)0时，向右下方倾斜.,3、梁上最大弯矩Mmax可能发生在FS(x)=0的截面上;或发生在集中力所在的截面上；或集中力偶作用处；最大剪力可能发生在集中力所在的截面上；或分布载荷发生变化的区段上.,4、在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.,5、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.,无荷载,集中力,F,C,集中力偶,m,C,向下倾斜的直线,上凸的二次抛物线,在FS=0的截面,水平直线,一般斜直线,或,在C处有转折,在剪力突变的截面,在紧靠C的某一侧截面,一段梁上的外力情况,剪力图的特征,弯矩图的特征,Mmax所在截面的可能位置,表4-1在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征,向下的均布荷载,在C处有突变,在C处有突变,在C处无变化,三、分布载荷集度、剪力和弯矩之间的积分关系,若在x=x1和x=x2处两个横截面A，B间无集中力则,式中，FSx1，FSx2分别为在x=x1和x=x2处两个横截面上的剪力.,上式表明，在x=x1和x=x2处两横截面上的剪力之差，等于两横截面间分布载荷图的面积.,若横截面A,B间无集中力偶作用则得,式中MA,MB分别为在x=a,x=b处两个横截面A及B上的弯矩.,上式表明，在x=a和x=b处两横截面上的弯矩之差，等于两横截面间剪力图的面积.,例题9一简支梁受两个力F作用，如图所示。已知F=25.3kN，有关尺寸如图所示.试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图.,解(1)求梁的支反力,将梁分为AC,CD,DB三段.每一段均属无载荷区段.,(2)剪力图,每段梁的剪力图均为水平直线,AC段,CD段,DB段,最大剪力发生在DB段中的任一横截面上,最大弯矩发生在C截面,(3)弯矩图,每段梁的弯矩图均为斜直线。且梁上无集中力偶.,(4)对图形进行校核,在集中力作用的C、D两点剪力图有突变，突变P=25.3kN.而弯矩图有尖角.,在AC段剪力为正值,弯矩图为向上倾斜的直线.,在CD和DB段,剪力为负值,弯矩图为向下倾斜的直线.,最大弯矩发生在剪力改变正、负号的C截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.,练习：例题11一简支梁受均布荷载作用，其集度q=100kN/m,如图所示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.,解(1)计算梁的支反力,将梁分为AC、CD、DB三段.AC和DB上无荷载,CD段有向下的均布荷载.,(2)剪力图,AC段水平直线,CD段向右下方的斜直线,DB段水平直线,最大剪力发生在AC和DB段的任一横截面上.,(3)弯矩图,AC段向上倾斜的直线,CD段向上凸的二次抛物线