工程力学 (2)

1,8.2扭矩、扭矩图,8.1扭转的概念与实例,8.3圆轴扭转时的应力与变形,8.4圆轴扭转的强度条件和刚度条件,8.5静不定问题和弹塑性问题,第八章圆轴的扭转,返回主目录,2,工程构件分类:,杆的基本变形:,3,研究对象：圆截面直杆,受力特点：作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程:SMx=0,变形特征：相对扭转角fAB圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。,传动轴,8.1扭转的概念与实例,返回主目录,4,扭矩：T是横截面上的内力偶矩。内力由截面法求得。,8.2扭矩与扭矩图,返回主目录,5,6,扭矩的符号规定：,按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正，反之为负。,7,以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。,画扭矩图：,8,简捷画法：,在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。,FN图（轴力）,T图,9,解：由功率转速关系计算外力偶矩,例某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功率为NA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为NB=NC=120kW，ND=160kW。试作轴的扭矩图。,10,最大扭矩在CA段，且,求各截面内力：,BC段,CA段,AD段,11,简捷画法：,T图,12,讨论：试作扭矩图,T图,求反力偶：,T图,返回主目录,13,变形体静力学的基本研究思路：,1.变形几何条件,刚性平面假设：变形前后，扭转圆轴各个横截面仍然保持为平面，二平面间距离不变，其半径仍然保持为直线且半径大小不变。,8.3.1圆轴扭转的应力公式,8.3圆轴扭转时的应力与变形,返回主目录,14,取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。,1.变形几何条件,g是微元的直角改变量，即半径r各处的剪应变。因为CC=gdx=rdf,故有：,df/dx,称为单位扭转角。,对半径为r的其它各处，可作类似的分析。,15,1.变形几何条件,对半径为r的其它各处，作类似的分析。,同样有：CC=gdx=rdf,16,2.物理关系材料的应力-应变关系,材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。,17,讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布,圆轴几何及T给定，df/dx为常数；G是材料常数。,-(3),最大剪应力在圆轴表面处。,截面上任一点的剪应力与该点到轴心的距离r成正比；,剪应变在ABCD面内，故剪应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。,18,3.力的平衡关系,应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。,取微面积如图，有：,-(3),利用(3)式，得到：,19,3.力的平衡关系,令：,Ir称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。,tmax在圆轴表面处，且,求Ir，WT?,20,8.3.2圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量,讨论内径d，外径D的空心圆截面，取微面积dA=2prdr,则有：,a=d/D,21,圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量,空心圆轴,22,研究思路：,23,结论：,1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横截面上线性分布，垂直于半径，指向由扭矩的转向确定。,2）截面任一处截面外圆周处（表面）tr=Tr/Irtmax=T/WT,24,讨论：,2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?,1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截面尺寸不同，其扭矩图相同否?若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？变形是否相同？,相同,相同,不同,25,8.3.3扭转圆轴任一点的应力状态,研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。,A,A的平衡？,SMC(F)=tdxdy-tdydx=0t=t,剪应力互等定理：,物体内任一点处二相互垂直的截面上，剪应力总是同时存在的，它们大小相等，方向是共同指向或背离二截面的交线。,26,8.3.3扭转圆轴任一点的应力状态,纯剪应力状态等价于转过45后微元的二向等值拉压应力状态。,纯剪应力状态:微元各面只有剪应力作用。,45斜截面上的应力：,tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0,还有：s-45=t；t-45=0,tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0,解得：s45=-t；t45=0。,一些脆性材料(例如粉笔、铸铁等)承受扭转作用时发生沿轴线45方向的破坏，就是由此拉应力控制的。,27,8.3.4圆轴的扭转变形,单位扭转角为：,若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。,28,例2.空心圆轴如图，已知MA=150Nm，MB=50NmMC=100Nm，材料G=80GPa，试求（1）轴内的最大剪应力；（2）C截面相对A截面的扭转角。,解:1)画扭矩图。,2)计算各段应力:,AB段：,N-mm-MPa单位制,29,2)计算各段应力:,BC段：,故tmax=86.7MPa,N-mm-MPa单位制,30,思考题:8-2，8-3习题：8-1(b)(c)，8-2,自信是向成功迈出的第一步。-爱因斯坦,返回主目录,31,拉压,sys/n(延)=sb/n(脆),max,1.强度条件,8.4圆轴扭转的强度条件和刚度条件,返回主目录,32,轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIr,扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即还须满足刚度条件。,单位长度的扭转角为：q=AB/L=T/GIr,扭转刚度条件则为：qmaxq-许用扭转角,机械设计手册建议：q=0.250.5/m;精度高的轴；q=0.51.0/m;一般传动轴。,2.刚度条件,33,扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；确定许用载荷（扭矩）；设计轴的几何尺寸。,34,解:1)画扭矩图。,例4.实心圆轴如图，已知MB=MC=1.64kNm，MD=2.18kNm材料G=80GPa，t=40MPa，q=1/m，试设计轴的直径。,最大扭矩在CA段，且,N-m-Pa单位制,35,2)按刚度设计，有：,同时满足强度与刚度要求，则应取取大者,36,讨论：若取a=0.5，试设计空心圆轴尺寸。,重量比：重量减轻25%，尺寸略大一点。,37,例5.联轴节如图。轴径D=100mm，四个直径d=20mm的螺栓对称置于D1=320mm的圆周上，t=12mm。若=80MPa，bs=120MPa。试确定许用的扭矩T。,38,2)考虑螺栓剪切强度:=FS/(d2/4)有：FSd2/4=25.12kN,2)考虑螺栓挤压强度：bs=Fbs/Abs=Fbs/tdbs有:Fbstdbs=28.8kN,T=minTi=15.7kN.m,由平衡条件有4FS(D1/2)=TT剪=4FS(D1/2)425.120.16=16.1kNm,由平衡条件有：4Fbs(D1/2)=T故T挤=428.80.16=18.4kNm。,返回主目录,39,求解变形体静力学问题的基本方程:力的平衡方程、材料的物理方程和变形几何方程。,静不定问题有多余的变形约束,弹塑性问题物理方程不同,8.5静不定问题和弹塑性问题,返回主目录,40,例6两端固定的圆截面杆AB，在C截面处受外力偶Mc作用，试求两固定端的支反力偶矩。,解:静力平衡方程:MC=MA+MB-(1),物理方程(力变形关系)AC=-MAa/GIr;CB=MBb/GIr-(3),几何方程:AB=AC+CB=0-(2),41,例7空心圆轴承受扭转作用，材料服从理想弹塑性剪应力-剪应变关系。试估计轴开始发生屈服时的扭矩TS，及轴可承受的最大扭矩TU。,解：解：1）弹性阶段：（TTS）,对于理想弹塑性材料，已经屈服的部分材料承担的载荷不再进一步增加，ttys。随着扭矩的进一步增大，截面上的剪应力由外向内逐渐进入屈服；未屈服的弹性材料部分，剪应力仍呈线性分布。,T=TS,tmax=tys,43,对于实心圆轴，a=0，则有：,屈服扭矩,极限扭矩,极限扭矩与屈服扭矩之比为:TU/TS=4/3,4）塑性极限扭矩：（T=TU）,全部材料进入屈服，截面上各处应力均到达tys，载荷不再能继续增加。此载荷称