第8章数值积分与数值微分1详解.ppt

第八章数值积分与数值微分,山东大学数学学院,内容提纲,数值积分的必要性求积公式及其代数精度插值型求积公式Newton-Cotes公式及数值稳定性复化求积公式及误差估计数值微分,引言数值积分的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分被积函数f(x)要求：有解析表达式；f(x)的原函数F(x)为初等函数,实际问题,1f(x)的原函数F(x)不能用初等函数表示例如函数:,考虑一个实际问题:建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.,假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.这个问题就是要求由函数f(x)=sinx给定的曲线,从x=0到x=48英寸间的弧长L.由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:,上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.,2.有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数,并不复杂,但它的原函数却十分复杂:,3.f(x)没有解析表达式，只有数表形式:,这些都说明,通过原函数来计算积分有它的局限性,因而,研究关于积分的数值方法具有很重要的实际意义.,求积公式及其代数精度,求积公式的概念积分值在几何上可解释为由x=a,x=b,y=0和y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。积分计算之所以有困难，就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x)是曲的。,依据积分中值定理，对于连续函数f(x),在a,b内存在一点,使得,称f()为区间a,b的平均高度。问题在于点的具体位置一般是不知道的。这样,只要对平均高度f()提供一种算法,相应地便获得一种数值求积方法.,如果简单地选取区间a,b的一个端点或区间中点的高度作为平均高度，这样建立的求积公式分别是:左矩形公式:I(f)(b-a)f(a)右矩形公式:I(f)(b-a)f(b)中矩形公式:I(f)(b-a)f(a+b)/2,一梯形公式,取积分区间的两个端点a,b作为插值节点，则相应的Lagrange插值公式及其余项分别为：,将代入定积分，则有：,其中称为梯形公式。,余项为：,由于在a,b上不变号，由积分中值定理，得：,其中，上式称为梯形公式的余项。,由此可以看出，梯形公式就是利用a,b两点高度的加权平均值f(a)+f(b)/2作为平均高度f()的近似值。从几何上来看，也就是利用梯形的面积来近似表示曲边梯形的面积。,例1：求,解：,二Simpson公式,在积分区间内取三个插值节点：，则相应的Lagrange插值公式及其余项分别为：,其中,将代入定积分，则有：,这里，上式称为Simpson公式或抛物型公式。,Simpson公式的余项为：,由此可以看出，Simpson公式就是利用a,c=(a+b)/2,b三点高度的加权平均值f(a)+4f(c)+f(b)/6作为平均高度f()的近似值。从几何上来看，也就是利用抛物线y=L2(x)与x=a,x=b以及x轴所围成的图形的面积来近似表示曲边梯形的面积。,例2：利用Simpson公式求,解：,三代数精确度,更一般地，取区间a,b内n+1个点处的高度，通过加权平均的方法近似地得出平均高度，这类求积方法称为机械求积:,或写成:,数值积分公式,求积系数,求积节点,(1),记,称(2)为数值求积公式，(3)为求积公式余项(误差)。,构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有：,(i)确定求积系数Ak和求积节点xk；(ii)求积公式的误差估计和收敛性,为了构造形如式(2)的求积公式,需要提供一种判定求积方法精度高低准则,定义1：称求积公式(2)具有m次代数精度,如果它满足如下两个条件:(i)对所有次数m次的多项式,有(ii)存在m+1次多项式,使得,注：定义1中的条件(i),(ii)等价于：,Th1：对给定的n+1个互异节点,总存在求积系数,使得求积公式(1)至少具有n次代数精度.,证：设求积公式(1)对均准确成立,则有,上式为关于的线性方程组,其系数矩阵为范德蒙行列式.由条件知其值不为零.故存在唯一解,由此知求积公式(1)至少具有n次代数精度.,代数精确作为标准构造求积公式待定系数法,依次取分别代入求积公式，检验In(f)是否等于I(f)。若对均有，但当代入时，则其代数精度便为m次的。,例3：讨论梯形公式的代数精确度,解：,故T1的代数精度为1次。,例4：讨论Simpson公式的代数精确度,解：,故S1的代数精度为3次。,例5：确定下面求积公式的待定参数,使其代数精度尽量高,指出代数精度的次数,并求出余项中的常数k.,解：分别令，代入求积公式，得：,故该求积公式的代数精度为2。,当时，代入积分等式：,则得：，所以。,因此余项,解：分别令，代入求积公式，得：,例6：确定下面求积公式的待定参数,使其代数精度尽量高,并指出代数精度的次数.,该求积公式的代数精度至少为2。令分别代入公式的左右两端，则左端=0=右端，求积公式精确成立；再取,四插值型求积公式,在积分区间a,b上取n+1个节点作f(x)的n次代数插值多项式（Lagrange插值多项式）:,则有,插值余项：,于是有,称(4)式为插值型求积公式,其中求积系数Ak由(5)式确定.,误差,当插值节点等距时，即：,令：,则当时,于是,所以,记,则,故(4)式可写成,称为Newton-Cotes求积公式.称为Cotes系数.,注:当n=1和n=2时,Newton-Cotes公式分别为前面介绍的梯形公式和Simpson公式.,当n=4时,Newton-Cotes公式也称Cotes公式,为：,上述三种公式是实际中最常用的求积公式.,Cotes系数的性质：,Prop1:Cotes系数之和为1,即,Prop2:Cotes系数具有对称性,即,Newton-Cotes求积公式的代数精度：,Newton-Cotes求积公式的余项,如果f(x)为次数不高于n的代数多项式,则,结论:当n为奇数时,Newton-Cotes公式具有n次代数精度;当n为偶数时,Newton-Cotes公式具有n+1次代数精度.,即Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度.,事实上,令,则,(奇函数在对称区间上的积分)因此n为偶数时,N-C公式具有n+1次代数精度.,Simpson公式的余项：,证：作f(x)的Hermite插值多项式H3(x),使之满足:,则H3(x)为次数不超过3的插值多项式,且,且余项为(利用积分中值定理),由于Simpson公式有三次代数精度,故,Newton-Cotes求积公式余项定理：,定理2：设等距插值节点距离为，有求积公式,(1)若n为偶数，则存在，使,(2)若n为奇数，则存在，使,注：定理2说明，若n为奇数，则插值型求积公式对于不超过n次的多项式准确成立，可以证明其代数精度为n；若n为偶数，则公式的代数精确度为n+1.,Newton-Cotes求积公式的稳定性：,假设计算f(xk)时有误差,即,此计算过程是稳定的.,记,则计算过程中的计算误差,即以代替从而使Newton-Cotes公式产生的误差为:,若Cotes系数均为正数,则有,注:若有正有负,则