三角形内心的性质及其应用

三角形内心的性质及其应用一基础知识三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列优美的性质：性质1：设I为ABC的内心，则I到ABC三边的距离相等；反之亦然。性质2：设I为ABC的内心，则BIC = 90 +A/2,类似地还有两式。性质3：设I为ABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, I在BC、AC、AB上射影分别为D、E、F；内切圆半径为r,令p = (a+b+c) /2 , 则S ABC = p r ; ；AE = AF = p-a ,BD = BF = p-b , CE = CD = p-c ; abcr = pAIBICI .性质4：三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若I为ABC的A平分线AD（D在ABC的外接圆上）上的点，且DI = DB，则I为ABC的内心。性质5：设I为ABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, A的平分线交BC于K ，交ABC的外接圆于D，则性质6：过ABC内心I任作一直线，分别交AB、AC于P及Q两点，则或性质7：设ABC的内心为I，ABC内一点P在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，当P与I重合时，和式的值最小。性质8：设I1为ABC的内心，R为ABC的外接圆的半径，则二、综合应用：例1如图，D是ABC的内心，E是ABD的内心，F是BDE的内心。若BDE的度数为整数，求BFE的最小度数。例2如图，设点M是ABC的BC边的中点，I是其内心，AH是BC边上的高，E为直线IM与AH的交点。求证：AE等于切圆半径r.例3如图，设P为ABC内一点，APB-ACB = APC-ABC .又设D、E分别是APB及APC的内心，证明：AP、BD、CE交于一点。（第33届IMO第2题）例4如图，设三角形的外接圆半径、内切圆半径分别为R、r, 其外心、内心分别为O、I，若IO = d, 则d2 = R2 2Rr. 例5如图，设ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，B = 60 , AC, A的外角平分线交圆O于E，证明：IO = AE；2RIO+IA+IC(1+)R.例6如图，在ABC中，有一个圆O内切于ABC的外接圆O，并且与AB、AC分别相切于P、Q。求证：线段PQ的中点I是ABC的内心。例7ABC的A的平分线与ABC的外接圆交于D，I是ABC的内心，M是边BC的中点，P是I关于M的对称点（设点P在圆内），延长DP与外接圆交于点N。试证：在AN、BN、CN三条线段中，必有一条线段中另两条线段之和。例8如图，在ABC中，O是外心，I是内心，C = 30 , 边AC上的点D与边BC上的点E，使AD = BE = AG，求证：OIDE，OI = DE。例9如图，在ABC中，AB = 4 ，AC = 6，BC = 5，；A的平分线AD交ABC的外接圆于K。O、I分别为ABC的外心、内心。求证：OIAK。例10如图，在直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，连结ABD的内心与ACD的内心的直线，分别与AB边交于K，与AC边交于L，ABC与AKL的面积分别记为S与T，求证：S2T. 例11如图，在ABC中，ABAC, ADBC , D为垂足，过RtABD的内心O1和RtACD的内心O2的直线交AB于K，交AC于L ，若AK = AL ，则BAC = 90 .强化训练1已知圆O1与圆O2于点C，延长O1A交圆O2于点C，延长O2A交圆O1于点D，求证：A是BCD的内心。2在RtABC中，C = 90 , CD是斜边上的高，O1 、O2分别是ACD和BCD的内心，求证：AO2C =BO1C.3设ABC的内切圆I与AB、AC边分别切于点E、F，射线BI、CI分别交EF于点M、N。试证：四边形AMIN与IBC的面积相等。4设I为ABC的内心，CI的延长线分别交边AB及外接圆于D、K，求证： ；5在梯形A