09高一数学培优 反三角函数与三角方程学生 1

1 / 7 第九讲：第九讲：反三角函数与三角方程反三角函数与三角方程 教学目标教学目标： 理解sinyx xR不存在反函数，理解反正弦函数的概念，了解其图像和 基本性质，会用反正弦函数值表示角的大小；类比研究反余弦、反正切函数； 会写简单三角方程的解集 重难点重难点： 反正弦函数的图像和基本性质，最简三角方程的解 一、一、 知识要点知识要点 1、 反三角函数的图像与性质 反三角函数 arcsinyx arccosyx arctanyx 定义域 1,1 1,1 R 值域 , 2 2 0, , 2 2 图像 最值 1x 时， max 2 y 1x 时， min 2 y 1x 时， max y 1x 时， min 0y 无 单调性 增 减 增 奇偶性 奇 非奇非偶 奇 三个重 要等式 1）sin arcsinxx 1,1x 2）arcsinarcsinxx 1,1x 3）arcsin sinxx , 2 2 x 1）cos arccosxx 1,1x 2）arccosarccosxx 1,1x 3）arccos cosxx 0,x 1）tan arctanxx xR 2）arctanarctanxx xR 3）arctan tanxx , 2 2 x 2 / 7 2、 简单的三角方程 （1）三角方程定义：含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程 （2）最简三角方程的解集 sinxa，| 1a ，则解集为 |1arcsin , k x xka kZ ； cosxa，| 1a ，则解集为|2arccos ,x xka kZ； tanxa，aR，则解集为|arctan ,x xka kZ （3）三角方程的解法 简单的三角方程是通过三角函数与代数的恒等变形， 化为最简的三角方程来解， 最 后应写出最简三角方程的解集 二、二、 例题精讲例题精讲 例 1、 （1）求函数 3 sin , 22 yx x 的反函数； （2）求函数 2 arccos2yxx的单调增区间； （3）求函数arcsin6yx的定义域和值域 例 2、已知1,0 a a b ，求 11 tanarccostanarccos 4242 aa bb 的值 3 / 7 例 3、求函数 21 arccos5arccos ,1 2 yxx x 的最大值和最小值，以及相应的x 的值 例 4、已知方程 2 3 340 xx的两个实数根为 1 x与 2 x，记 1 arctan x， 2 arctanx，求的值 例 5、解下列三角方程： （1）sin5cos0 xx； （2） 2 2 3cossin； （3）sin212 sincos120 xxx； （4） 2 sin3sin cos10 xxx 4 / 7 例 6、 求实数m的取值范围， 使关于x的方程 22 2sin2sin coscos10 xxxxm 有解 例 7、解关于x的方程cos22cos230 xxa ，aR 5 / 7 三、三、 课堂练习课堂练习 1、 函数arcsin2yx的定义域为 ， 值域为 2、函数arccos 2 yx ，1,1x 的奇偶性为 3、 若 3 x 是方程2cos1x的解， 其中0,2， 则 4、若sintx，, 6 3 x ，则arccost的取值范围是 5、 函数 1 2 3arccos 4 x y 的反函数的最大值是 ， 最小值是 6、设sin3cos0 xxa在0,2x内有相异两实根，则实数a的取值范围 是 四、四、 课后作业课后作业 一、填空题 1、方程sin3cos2xx在0,上的解是 2、 若函数2arcsin2yx的值域是, 3 ， 则此函数的定义域为 3、 7 arccos sin 6 ， 11 sinarccos 23 4、方程sin40 x 的解集为M，方程cos21x 的解集为N，则M与N的关系 为 5、方程 2 lg cossinlg 2cos1xxx的解集是 6、 函数 2 arcsin1yxx的定义域为M， 值域为N， 则MN 二、选择题 7、函数sinyx， 3 , 22 x 的反函数为（ ） A、arcsin ,1,1yx x B、arcsin ,1,1yx x C、arcsin ,0,1yx x D、arcsin ,0,1yx x 6 / 7 8、下列命题中正确的是（ ） A、若点,20P aaa 为角终边上一点，则 2 5 sin 5 B、同时满足 13 sin,cos 22 的角有且只有一个 C、当| 1a 时，tan arcsina的值恒正 D、三角方程tan3 3 x 的解集为|,x xkkZ 9、函数 2 arccos 2yxx的值域为（ ） A、0, B、 1 arccos, 8 C、 1 0,arccos 8 D、 1 0,arccos 8 三、解答题 10、 （1）求函数 2 31 lg 1 4arcsin 2 x yx 的定义域； （2）求arcsin 1arccos2yxx的值域； （3）求 2 arcsinyxx的定义域； （4）判断函数sin 2arccosyx的奇偶性； （5）求满足不等式arccos 1arccosxx的x的取值范围 7 / 7 11、已知函数 2 cos 12 f xx ， 1 1sin2 2 g xx （1）设 0 x是函数 yf x的一个零点，求 0 g x的值； （2）