第7章多目标及离散变量优化.ppt

机械优化设计，第7章多目标和离散变量优化方法，第1节多目标优化问题，第2节多目标优化方法，第3节离散变量优化问题，第4节离散变量优化方法，在机械设计中，多目标优化设计问题要求几个设计指标同时最优， 多目标优化问题的类型：(1)全局多目标优化(2)层次(步骤)多目标优化多目标优化问题从根本上不同于单目标优化问题：单目标问题可以获得最优解，而多目标问题往往不能获得最优解，而只能获得非劣解(有效解)多目标优化问题的任何两种设计方案，往往不容易比较它们的优缺点。 在第一部分，多目标优化问题，t，l，r，x，r，x，x，f，x，f，x，f，n，n，()，()，(，)，(，2，1，min，min，=，决定方案的优劣：单目标：只要f(x)用于比较，绝对最优解：在多目标优化设计中，几个子目标同时达到最优解。绝对最优解几乎是不可能找到的，因为目标函数有时相互矛盾。非劣解(有效解):指m个目标函数，找不到x，因此其中一个目标函数值fi(x)优于fi(x*)，而另一个(m-1)目标函数值保持不变，x*称为非劣解(有效解)；在多目标优化设计中，每个目标往往是相互矛盾的，甚至是相互对立的，这就要求每个目标函数之间的协调和一些让步，以实现更好的规划。(j=1，2，l)，例1，在中，最优解是：但它们没有共同的最优解，内部的两个单目标函数，(1)，内部的，(如果，有，对于任何，那么x*是多目标优化的绝对最优解)，和(3)如果，不存在，那么x*是一个非劣解。的所有要点都是不差的解决方案。是绝对最佳的解决方案。在中，点a，a都是次优解(如果，存在，有，则x*成为次优解。)，Dx，x，*，如b点。首先，主目标法的基本思想是选择多个目标中的一个作为主目标，而其他目标只需要满足一定的要求，即把目标转化为约束目标函数，其次，统一目标法的基本思想是通过一定的方法把多目标优化问题转化为统一目标函数或综合目标函数作为多目标优化问题的评价函数。第2节多目标优化方法，其中fimin和fimax是第I个目标函数的上限和下限。一般来说，只有单边限制。1.线性加权法的基本思想是根据一组子目标函数在总体设计中的数量级和重要性，给出一组子目标函数，形成一个新的统一目标函数F (x)。加权因子F(x)的值，wi (wi0，I=1，2，L)对计算结果的正确性有很大影响。常用的方法有：线性加权法、理想点法(目标规划法)、功效系数法和最大最小法等。加权因子，取fi(x)和wi (I=1，2)的线性组合，l)，为了消除每个子目标的幅度差异，首先将子目标函数fi(x)转换成无量纲等效目标函数，然后形成统一的目标函数。wi根据每个目标的重要性来确定每个目标是否具有相同的重要性，然后取wi=1 (I=1，2，L)-称为统一权重，否则取每个目标的不同权重因子，取，在每个目标被转换为权重后，权重因子WI确定方法：将每个目标函数值的变化范围设置为：，取每个单个目标函数的最优值的倒数作为权重系数，它反映了每个单个目标函数离开其最优值的程度。此外，每个目标函数的无量纲化处理相当于消除每个目标的数量级的差异。其中，w1i固有权重因子反映了每个目标的重要性，w2i修正权重因子，调整inf(3)直接加权法，将加权因子分为两部分，一般取：wi=w1iw2i (i=1，2，l)。基本思想是首先确定每个目标函数的最优值，根据多目标优化设计的总体要求调整这些最优值，确定每个目标的最合理值(也可以是最优值)，然后构造一个新的统一体。在公式中，除了引入加权系数wi外，目标函数为：2。理想点法(目标归一化法)是对目标函数进行无量纲化。目标函数：V，其中，统一的目标函数是，即位于分子中的每个目标函数应该尽可能小，而位于分母中的每个目标函数应该尽可能大。一般来说，每个目标函数fi(x)需要在d，3上取正值。分目标乘法和除法，多目标混合优化问题：基本思想：对于每个目标函数，功效系数用来表示指标的质量。总功效系数(评价函数)越大越好。C=1-最令人满意的方案C=0-表示该方案不可接受。只要有一个方案，Ci=0，该方案就不能被接受。效率系数类型：1)Ci与fi成正比，即目标函数越大越好；2)Ci与fi成反比，即目标函数越小越好；3)当置信区间取某一合适值时，置信区间越大；否则，配置项越小。4。效率系数法，效率系数的确定方法：直线法，折线法，指数法，效率系数法的优点：1。每个目标函数的大小对优化2没有影响。评估功能直观且易于调整3。它适用于要求目标函数取中等值的情况。基本思想：在多目标优化问题中，目标函数之间存在矛盾。一个(某些)目标函数值的减少将导致另一个(某些)目标函数值的增加。因此，为了得到一个合理的方案，各目标函数值之间需要协调。如图所示，二维双目标函数f1(x)、f2(x)和两个不等式约束曲面的等值线。第三，协调曲线法，f1(x)最佳点T，f2(x)最佳点P可行域内的任意点R。从沿等值线f1(x)=5的点R开始，将f2(x)移动到受约束的曲面，以不断改进，直到点S位于边界上。从沿着f2(x)=8条等值线的点R开始，朝向约束曲面f1(x)的移动继续改善，直到边界上的点Q。当f1(x)=5时，对应于f2(x)的最佳点是点s，从而当f1(x)(或f2(x)为常数值时，获得对应于最佳f2(x)(或f1(x)的点关系曲线t-q-s-p-坐标曲线。当f2(x)=8时，对应于f1(x)的最佳点是Qpoint。该曲线反映了两个设计目标的所有最佳方案的调整范围。然后，建立了衡量设计方案满意度的标准，并建立了一组反映不同满意度的曲线u(f1，f2)。随着满意度的增加，目标函数f1(x)和f2(x)都减少。满意度曲线和协调曲线的切点是最优设计方案。如图所示，如果O点满意度曲线不同，则最优设计方案也不同。其基本思想是将多目标优化问题的目标函数按其重要度排序，然后依次为每个目标函数寻找最优解，最后一个目标函数应在它前面的目标函数最优解的集合域内进行优化。1.层次排序法将子目标函数的重要性顺序设置为：f1(x)，f2(x)，首先，f1(x)被优化，f2(x)在集合中被优化，第四，分级序列方法和容差分级序列方法。问题：如果第k个目标函数的最优解是唯一的，那么进一步求解它是没有意义的，而第l-k个目标函数则不能最优求解。等等。2.容差分级排序法的基本思想是先取一定宽的容量1，2，l(0)为每个目标函数的最优值，以便当，、如图所示，双目标优化问题是最优解，即f1(x)的严格最优解，给定公差值1，最优解为x(1)。例1用容差递阶排序法求解，其中，解：如图所示，给定1=0.052，解，,V，等间隔离散变量和非均匀间隔离散变量特例：整数变量-整数规划问题是最简单的处理方法：最优解由连续变量处理并四舍五入到最接近的值(2)很难确定哪个离散值是四舍五入到的；(3)在某些情况下，不允许设计变量的最终舍入。在第三节，离散变量优化问题，一，概述，离散变量，其中离散变量子集，xD是一个空集，xc是一个连续变量类型的问题，xC是一个完全离散变量类型的问题，连续变量子集，约束非线性混合离散变量优化问题的数学模型如下：一，约束非线性离散变量的常用优化方法：1)基于连续变量优化的方法：舍入法，拟离散法， 离散罚函数法2)离散变量的随机优化方法：随机测试法，随机离散搜索法3)离散变量搜索优化方法：组合优化法，整数梯度法4)其他离散变量优化方法：非线性隐式枚举法，分枝定界法，第4节离散变量优化法，(1)基于连续变量优化的方法1，整数和离散化方法的基本思想(舍入法和舍入法):首先，通过连续变量法得到最优解x*，然后进一步求出整数或离散化量的最优解。 假设具有最佳优势的n个实型组件是最接近的两个离散量(或整数量)，并且这些离散(整数)组件的不同组合形成最接近实型最佳优势x*的两个整数(离散)组件及其对应的一组总共具有2n个设计点的离散(整数)点组。去除不在可行区域内点，在可行区域的其他点中，选择目标函数值最小的点作为最优解输出。问题：例如，中间图中：x*点(通常在约束边界上)附近的离散点(整数点)不在可行区域内；例如，右图：中远离x*的点p是最有利的分散情况。如左图所示，x*点附近的整数(离散)点组是ABCD。点B在可行区域之外，点C是最有利的点。准离散方法的基本思想是在获得连续变量x*的最优解后，用某种方法在x*点附近搜索。(1)交替搜索法：适用于所有整数变量优化问题(略)(2)离散分量舍入，连续分量优化法：适用于混合离散变量优化问题(略)。基本思想：将设计变量的离散性作为变量的约束条件，然后用连续变量优化方法计算离散变量问题的最优解。1)构造一个具有以下性质的离散惩罚函数项QK (XD)。3)离散罚函数法。设计空间中的离散点集的意思是当离散变量趋向于离散值时，罚函数值为零。离散罚函数定义方法：其中，xi是两个相邻离散点xij和xij 1之间的任何点的坐标。当xi取xij或xij 1时，Qk(xD)是最大值为1和0的归一化对称函数。如图所示，对于k1的情况，函数的一阶导数在离散值之间的范围内是连续的。(1)和(2)将离散罚函数项Qk(xD)加到内点法SUMT的罚项上，得到如下离散罚函数：其中s(k)是离散罚因子，当在例1中得到f(x)=x/2的最小整数最优解时，约束函数g1(x)=1.3-x0，如图所示，分别表示k是不同的离散优化点，最后离散最优解为x2。这种变化情况，随着k的不断变化，r减小，s增大，这种方法的缺点是2)根据目标函数值由大到小排列各点，找出最差点AH3)找出除最差点之外的复合体的几何中心，找出最差点AH相对于中心点的反射点Ap，并移动到附近的离散点。4)如果Ap点可行且目标函数值优于AH点，则使用Ap点代替AH点形成新的复合体步骤2。否则，在反射的相反方向上搜索新的点。5)如果上述方法失败，下一个最差点.依次使用而不是最差点作为映射点，转到步骤3)，6)如果使用最佳点而不是AH作为映射点，并且仍然没有找到好点，或者如果复数退化到n-1维空间，则算法收敛。此时，复合顶点中的最佳点作为离散优化解。(3)分枝定界法离散变量的分枝定界法是求解线性整数规划问题的有效方法。这种方法类似于线性整数规划的分枝定界法。步骤如下：1)为了使所讨论的问题最小化，首先得到不考虑整数或离散约束的非线性问题的连续变量解。2)对于非整数变量，可以分解为整数部分和小数部分。3)构造了两个子问题：上限约束和下限约束。4)将上述两个子问题作为连续变量非线性问题来求解。5)重复上述过程，继续分支，并找到分支产生的子问题的最优解，直到找到离散解。6)在上述求解过程中，每个节点最多可以划分两个新节点。7)当出现以下情况时，认为相应的节点及其后续节点已经被清楚地检查。8)当所有节点都被清楚地检查后，搜索结束。这时，最佳整数解或离散解就是问题的离散最优解。(4)离散变量网格法1。离散变量普通网格法的基本思想是以一定的变量增量间隔将设计空间划分成若干个网格，计算可行区域内每个网格节点上的目标函数值，比较它们的大小，然后以最小目标函数值为中心在节点周围的空间划分较小的网格，并计算每个节点上的目标函数值，直到网格小到足以满足精度。网格节点的密度等于离散点的密度。开始时网格相对稀疏网格节点的密度逐渐增加直到网格节点被离散增量分割。2.离散变量正交网格法中普通网格法的缺点：当变量维数增加时，计算工作量大大增加。正交网格法的基本思想是：根据正交试验法的原理，用正交表选择网格法中一些有代表性的网格点作为计算点，也称为随机正交网格法。正交网格法的特点是只计算一些网格点的目标函数值，计算工作量较小。(5)离散变量组合方法(MDCP法)工程中离散优化的一般方法的基本思想：基于离散复形法，利用各种离散搜索策略，形成一种多函数组合算法。它适用于求解非线性混合离散变量的优化问题。1.形成初始离散复形的顶点数k=2n 1给定初始离散点x(0)，x(0)必须满足变量值的边界条件，但不需要满足约束条件，即在公式中，ximin和ximax分别是第I个变量的下限和上限，点数，分量数， 并且复数形式的2n-1个顶点根据以下方法生成第一个顶点：第二到n-1个顶点：第二到2n-1个顶点：这样生成的复合顶点不寻求完美作为可行点。 如图所示，在5个初始合成顶点中，c和d是不可行点。例如，二维：一维离散搜索生成新的点。排列复杂顶点的目标函数值，找出目标函数值最大的点为最差点。x(b)使用x(b)作为基点，并在其他顶点的几何中心x(e)的方向上执行一维搜索。映射、扩展在生成初始复顶点和一维离散搜索时，不考虑约束条件。为了保证复形的迭代限于可行域，定义了一个有效的目标函数Ef(x)。3.对约束条件的处理，在公式中，常数SUM是一个特殊的函数，其值与所有