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文档简介

一、格林公式,二、曲线积分与路径无关的条件,*三、全微分方程,一、格林公式,1.平面区域及其边界,设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都,属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区,域,例如,单连通,复连通,连通区域的边界曲线的正向,单连通区域的边界曲线的正向：逆时针方向，,复连通区域的边界曲线的正向：外面的闭曲线为逆,时针方向，内部的闭曲线为顺时针方向.,2.格林(Green)公式,定理1设闭区域D由分段光滑曲线L围成，,函数,P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有,其中L是D的取正向的边界曲线.,推论正向闭曲线L所围区域D的面积,例1三叶玫瑰线的极坐标方程为=asin3，求其,所围区域的面积,例2,设L是一条分段光滑的闭曲线,证明,例3计算,其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.,例4计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,例5计算,其中L是由直线,x+2y=2上从A(2,0)到B(0,1)的一段及圆弧,上从B(0,1)到C(-1,0)的一段连接而成的定向曲线.,二、曲线积分与路径无关的条件,设G是一个区域，P(x,y),Q(x,y)在G内具有连续的,一阶偏导数，,L1,L2是G内以A为起点B为终点的任意两,条光滑曲线，,若恒有,就称曲线积分,在G,内与路径无关，,否则称与路,径有关,定理2设G是一个区域，P(x,y),Q(x,y)在G内具有,一阶连续偏导数，,(1)对G中任意光滑闭曲线L,有,(2)对G中任一分段光滑曲线L,曲线积分,(4)在G内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关;,则以下四个条件等价：,(3)Pdx+Qdy在G内是某一函数u(x,y)的全微分，即,du(x,y)=Pdx+Qdy;,说明,(1)验证曲线积分与路径无关最便于应用的条件是,(3)计算曲线积分时，可利用格林公式简化计算，,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,(2)若曲线积分与路径无关，可选择方便的积分路径,进行计算;,(4)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:,及动点,或,则原函数为,取定点,(5)若已知du=Pdx+Qdy,则对D内任一分段光滑曲,此式称为曲线积分的基本公式.,它类似于微积分基本,公式:,例6计算,其中L是四叶玫,瑰线(x2+y2)3-(x2-y2)2=0上从A(1,0)到B(0,1)的一段,弧(第一象限).,例7验证,是某个函数的全微分,并求,出一个这样的函数.,例8验证,在右半平面(x0)内存在原函,数,并求出它.,判别,P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0为全微分方程,则,求解步骤,法1凑微分法;,法2利用积分与路径无关的条件.,1.求原函数u(x,y),2.由du=0得通解为u(x,y)=C.,*三、全微分方程,则称,P(x
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