线性代数 矩阵第二章

.,第二章矩阵,1矩阵的概念；2矩阵的代数运算；3矩阵的初等变换；4矩阵的求逆运算；5分块矩阵。,一.矩阵的概念,1.矩阵的定义方程组,系数排成一个矩形数表,这就是矩阵,由mn个数按一定的次序排成的m行n列的矩形数表称为mn矩阵,简称矩阵.,横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的列,称为矩阵的第i行j列的元素.,元素为实数的称为实矩阵,我们只讨论实矩阵.,矩阵通常用大写字母A、B、C等表示，例如,简记为,行矩阵,列矩阵,脚标,当m=n时，即矩阵的行数与列数相同时,称矩阵为方阵。,称为对角线元素,几种特殊形式的矩阵,二.矩阵的代数运算,一、线性运算,1.相等:两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同的行数与列数,且对应元素相等.即,=,同型,型号相同,对应元素相等,2.加、减法,设同型矩阵为,与,定义,显然A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)A+O=O+A=AA-A=O,负矩阵,的负矩阵为,记作-A,即,3.数乘,称为数与矩阵的乘法，简称为数乘。记作：kA,.,二、矩阵的乘法,与,一般地，有,=,.,与,.,则,A与B满足什么条件时能够相乘？,你记住了吗？,=O,显然,这正是矩阵与数的不同,但是,这又是矩阵与数的不同,请记住：,1.矩阵乘法不满足交换律；2.不满足消去律；3.有非零的零因子。,请特别注意性质5,如果不是同阶方阵结果不成立.,?,不成立!,课本P39:例2.3,三、方阵的正整数幂,定义n阶方阵的k次幂为：,显然,规定,注意,AB=BA,四、矩阵的转置,请记牢!,方阵A的多项式,例,课本P40:例2.4,也就是,=,?,.,对称阵与反对称阵,对任一方阵A，我们有,.,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,例：P42:例2.5证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.,.,小结,2.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律、消去律.,1.只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,3.矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.,注意:,课后作业P58:2-1;2-2.1)2)3)7);2-4;2-6;2-7;2-8;P64:2-51.1),.,倍乘变换,三.矩阵的初等变换,以下三种变换分别称为矩阵的初等行（列）变换：,对调变换,倍加变换,矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。,.,行阶梯形：每行首个非零元素的下方全是零,化简矩阵而保持其等价性。,主要作用：,矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具.,?,主要过程：利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形。,.,利用初等行变换将矩阵A化为行阶梯形矩阵。,例1：,.,利用初等行变换将矩阵化为行最简形。,?,行最简形：每行首个非零元素为1，且这些1所在列的其他元素都是零,.,利用初等行变换将矩阵化为行最简形矩阵。,例2：,.,矩阵的等价,定义:对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作AB.,性质:等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。,A的等价标准形,定理：任何一个矩阵都有等价标准形。,.,如例1中：,推论:矩阵A与B等价的充要条件是A与B有相同的标准形。,.,矩阵的秩,一般地：,2.秩的定义:矩阵A的所有不等于零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩.记作r(A).,显然r(O)=0;只要A不是零阵,就有r(A)0.并且:,.,例3,解,.,例4,解,计算A的3阶子式，,.,例5求矩阵A的秩,利用初等变换可以求矩阵的秩.,.,秩的求法,定理:矩阵经初等变换后其秩不变.,证:只证行变换的情形.,.,例6求矩阵的秩,.,.,例7,解：,.,P59:2-17.1)2)3);P88：3-15.3）4）;,小结,(2)初等变换法,1.矩阵的初等变换,2.求矩阵秩的方法,(1)利用定义,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,作业：,.,初等矩阵,定义：对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等行变换得到的初等矩阵分别为：,.,对单位阵作一次列变换得到的矩阵也包括在上面的三类矩阵之中。,.,初等矩阵的性质,1.,.,.,初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵.,2.,初等矩阵都是非奇异的.,初等矩阵与初等变换的关系,先看一个例子,.,.,行变换相当于左乘初等矩阵;列变换相当于右乘初等矩阵.,.,例1求矩阵的标准形并用初等矩阵表示初等变换。,可以验证,.,例2选择题,.,=？,例3,.,显然，若两个同型矩阵有相同的秩，则这两个矩阵有相同的标准形，从而等价；反之，若两个矩阵等价，则它们的秩相同。即有：,定理：矩阵A与B等价的充要条件是r(A)=r(B).,!请记住：矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。,满秩矩阵,定义：若方阵A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵。,(满秩非奇异降秩奇异）,E-满秩阵O-降秩阵,定理：设A为满秩阵，则A的标准形为同阶单位阵E.即,矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征。,.,推论1：以下命题等价：,证,.,推论2：矩阵A与B等价的充要条件为存在m阶及n阶满秩阵P、Q，使,由此还可得到：,若P、Q为满秩阵，则,r(A)=r(PA)=r(PAQ)=r(AQ),例4：,.,P61：2-18;P62：2-34.,小结,2.初等矩阵与初等变换的关系,3.矩阵满秩的等价条件,作业：,4.同型矩阵等价的充要条件,.,四、逆矩阵,定义：对n阶方阵A，若有n阶矩阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆矩阵，称A为可逆的。,（1）逆阵唯一。,设B,C都是A的逆，则,B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C,A的逆记为：,（2）并非每个方阵都可逆。,例如,就不可逆。,要解决的问题：,1.方阵满足什么条件时可逆?,2.可逆时，逆阵怎样求？,.,逆阵的性质,背过这些公式！,.,伴随矩阵,伴随矩阵,?,代数余子式的顺序!,二阶A矩阵的伴随矩阵.,你记住了吗？,.,重要公式,性质：,.,定理:n阶方阵A可逆的充要条件是,证:,牢记这个定理,.,例1.,解：,例2.,证:,同理证其它两式。,.,这说明初等矩阵的逆阵仍为同类型的初等矩阵。这是初等矩阵的第三个性质。,练习：求逆阵,？,的逆怎样求？,.,逆阵的求法,方法一：,方法二：,初等变换法。,.,.,方法三：用定义求。,猜：,.,.,方法四：用定义证明B为A的逆。,P60.2-14,.,逆阵的应用求解矩阵方程,.,求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。,.,.,3.逆矩阵的计算方法,2.逆矩阵存在,小结,1.逆矩阵的概念及运算性质.,P59:2-9.1)3)5);2-10;2-11.1)3);2-12;2-13;2-15.,作业：,.,一、分块矩阵的概念,定义：将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块（或子阵），以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。,五、分块矩阵,.,二、分块矩阵的运算,1.线性运算,加法与数乘,2.乘法运算,符合乘法的要求,3.转置运算,大块小块一起转,三、几种特殊的分块阵,1.准对角阵,准对角阵或分块对角阵,课本P46,.,则有,.,-牢记这些公式！,.,例1,求A的行列式，秩及逆。,解：将矩阵分块,只须口算即可！,.,2.分块三角阵,分块上