08第八章扭转

第八章扭转8-1概述图8-1,扭转变形的受力特点和变形特点是：1)受力特点：在直圆杆的两端,在垂直于杆轴的平面内,有大小相等、方向相反的力偶作用；图8-22)变形特点：杆上各横截面均绕杆的轴线发生相对转动,杆件表面的纵线倾斜成角,如图8-2所示。,8-2外力偶矩与扭矩的计算扭矩图一、功率、转速和外力偶矩之间的关系在工程计算中,作用在轴上的外力偶矩通常不是直接给出的,而是给出轴所传递的功率N(kW)和轴的转速n(r/min),因此应将已知的功率和转速换算成外力偶矩,其计算公式为二、扭矩和扭矩图,1)扭转时的内力扭矩图8-3外力偶矩确定以后,就可用截面法计算横截面上的内力,设有一轴,在垂直于该轴线的平面内作用有大小相等方向相反的外力偶,轴处于平衡状态,如图8-3所示。,假想用任意截面将轴切开,取出一段来进行分析,例如取A部分为研究对象。为了与外力偶矩m平衡,在截面11处必有力偶矩Mn存在,根据平衡条件就得到Mn称为截面11上的扭矩。2)扭矩的符号为了讨论方便,需要定出扭矩的符号：用右手螺旋定则决定,如用右手的四指弯向表示扭矩的转向,拇指的指向与截面的外法线方向一致时,规定该扭矩为正(图8-3),反之,规定为负。因此,同一截面左右两侧的扭矩,不但数值相等,而且符号相同。3)扭矩图为了显示整个轴上各截面扭矩的变化规律,可用横坐标表示截面位置,纵坐标表示各截面扭矩的大小,按适当比例尺绘出扭矩图,以便确定最大扭矩数值及危险截面。8-3薄壁圆筒的扭转纯剪切一、薄壁圆筒扭转时横截面上的应力,1)各纵向线倾斜了同一微小角度,矩形歪斜成平行四边形；2)各圆周线的形状、大小和间距不变,只是各圆周线绕杆轴线转动了不同的角度。图8-5,图8-6剪应力的大小,由均匀分布的内力矩与外力偶矩的平衡条件来确定,其计算公式为,此即薄壁圆筒的扭转剪应力公式。图8-7下面讨论圆筒的扭转变形,设圆筒两端截面的相对扭转角为(见图8-8),因为所以,如由试验测出扭转角,则由上式可求剪应变。图8-8图8-9二、纯剪切及剪应力互等定理如果从圆筒上取出表面尺寸分别为dx,dy,厚度为t的微体(图8-9)。在微体的右侧面上有剪应力,则由静力平衡条件可知,左侧,面上也一定有剪应力,与右侧面上的剪应力大小相等方向相反,构成一矩为(tdy)dx的力偶,但微体是平衡的,故上下两面也有大小相等方向相反的剪应力,构成一个矩为(tdx)dy的反力偶,由得即上式表明：在互相垂直的两个平面上,剪应力必然成对存在,且数值相等；二者都,垂直于两平面的交线,其方向则共同指向或共同背离两平面的交线,这种关系称为剪应力互等定理。在图8-9所示微体的四个侧面上,只存在剪应力而无正应力,这种受力状态称为纯剪切。三、剪切虎克定律薄壁圆筒的扭转实验表明(图8-10),当剪应力不超过材料的比例极限p时,剪应力与剪应变成正比,即,图8-10四、剪切变形能如拉伸一样,当纯剪切时变形物体要储存变形能。如图8-11(a),(b),假定微体的左右面由于剪应力发生相对错动,力dyt在位移dx上所做的功等于微体储存的变形能。因为力的变化与位移成正比,所以,它的功等,于dytdx之半,于是在弹性范围内有单位体积的变形能根据虎克定律所以称u为纯剪切比位能(或能密度)。,8-4圆轴扭转时的应力与变形计算一、圆轴扭转时横截面上的应力与变形计算1.变形方面图8-12,1)各圆周线绕轴线相对地转了一个角度,但大小形状和两圆周线之间的距离不变；2)在小变形的情况下,各纵向线仍近似为一条直线,只是倾斜了同一个微小角度,变形前轴表面的方格,扭歪成菱形。圆轴右端相对于左端截面绕轴线转过的角度称为扭转角,以弧度表示。用相邻两截面截出dx微段,然后再用半径为与+d的两个圆柱的两个柱面从微段中截出一个圆环,如图8-13所示。,图8-13图8-14在受扭时,环的右端面相对左端面转了一个角度d,同时柱的母线AB旋转了一个角度并达到AB位置。因为,所以式中表示转角的变化率,即单位长度的扭转角,对同一截面为一常数,以表示,则所以,任意点的剪应变与该点到圆心的距离成正比,此即剪应变的分布规律。2.物理方面根据剪切虎克定律,横截面上距圆心为的任意点处的剪应力为,即横截面上任意点的剪应力与该点到圆心的距离成正比,这是剪应力的分布规律,如图8-15所示。当=R时,=max即横截面上周边各点的剪应力最大。图8-153.静力方面,取微分面积dA(图8-14),则微内力矩dm=dA,整个截面上的内力所组成的内力偶矩即扭矩积分是与圆面积有关的几何量,称为圆截面的极惯性矩,以IP表示由此得于是横截面上的剪应力,当=R时,即在横截面边缘处,剪应力最大引用记号则Wn称为抗扭截面模量,它是一个只与截面形状尺寸有关的量,对实心圆轴(图8-16),对于空心圆轴,式中图8-16图8-17二、圆轴扭转时的变形计算抗扭刚度,扭转变形的标志是两个横截面绕轴线的相对转角。由可知,相距dx的两个横截面间的相对扭转角为GIP反映了截面抵抗扭转变形的能力,称为截面的抗扭刚度。8-5圆轴扭转时的强度条件和刚度条件一、圆轴扭转时的破坏现象,1.塑性材料如低碳钢在受扭过程中先是屈服,如继续增大载荷,试件将沿横截面破坏。2.铸铁试件在受扭过程中,变形始终很小,试件沿与轴线成45的螺旋面破坏。图8-18可见,对于受扭圆截面来说,破坏的标志仍为屈服或断裂。试件扭转屈服时横截面的最大剪应力称为扭转屈服应力,用s表示；试件扭断时横截面的最大剪应力称为,扭转强度极限,以b表示。s,b称为扭转的极限应力,并用表示。将其除以安全系数n,就得到材料的许用扭转剪应力在静载荷作用下,许用扭转剪应力与许用拉应力存在如下关系：对塑性材料=(0.50.6)对脆性材料=(0.81.0)二、圆轴扭转的强度条件为了保证圆轴扭转时不发生破坏,要求它在工作时危险截面上的最大工作剪应力max不,超过材料的许用扭转剪应力,所以扭转强度条件为图8-19,三、圆轴扭转的刚度条件在生产中要限制轴产生过大的扭转变形。扭转变形过大,将会引起较大的扭转振动,影响机器的正常运转和工件的加工质量。为了保证轴的刚度,通常规定轴的最大单位长度扭转角max不超过许用扭转角,即刚度条件为式中max和的单位为度/米(/m)。,图8-21*8-6圆轴扭转时的变形能,当轴扭转时,轴内将积蓄变形能。扭转实验表明,在弹性范围内受扭圆轴端面的扭转角与外力偶矩m成正比。如图8-22所示,当等截面圆轴承受的外力偶矩从零逐渐增到m时,其扭转角也从零增加到。图8-22,所以,外力偶矩所做的功将代入上式于是得到扭转时的变形能为,*8-7扭转超静定问题杆在扭转时,若杆支座反力偶或杆横截面的扭矩,仅用静力方程不能求得时,这样的问题称为扭转超静定问题。扭转超静定问题的解法与拉压超静定的解法相同,即除了根据静力平衡条件列出静力方程外,还要由变形谐调条件建立变形几何方程,并利用扭矩与扭转角的物理关系,代入变形几何方程以得到补充方程,静力平衡方程与补充方程联立求解而得到所有的未知数。,*8-8矩形截面杆扭转的概念图8-24(