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文档简介

积分问题,微分方程问题,推广,微分方程,第八章,常微分方程,偏微分方程,含自变量,未知函数及其导数(微分)的方程叫做微分方程,(未知函数为一元函数),一、微分方程的基本概念,分类,微分方程的基本概念,第一节,(未知函数为多元函数),方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.,的线性函数，,一般地,n阶常微分方程的形式是,若F为,则称其为n阶线性微分,方程;,否则，称其为非线性微分方程。,例：,其一般形式为,其中,均为x的已知函数。,一阶非线性常微分方程,一阶线性常微分方程,二阶非线性常微分方程,二阶偏微分方程,二、微分方程的解,使方程成为恒等式的函数.,微分方程的解,通解,解中含有n个独立的任意常数的,函数解，称为其通解。,特解,在通解中给任意常数以确定的值,而得到的解，称为其特解。,例：,其通解为，其中为任意常数。,取，,得其特解为。,确定通解中任意常数的条件.,n阶方程的初始条件(或初值条件):,通解:,特解:,定解条件,转化,可分离变量微分方程,第二节,分离变量方程,一、可分离变量方程,一阶微分方程的一般形式为,或,分离变量方程,分离变量方程的解法:,两边积分,得,则有,其中C为任意常数。,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,例3：,分离变量,即,(C0),解：,二、齐次微分方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(C为任意常数),例2.
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