第三章差分方程模型ppt课件

3.差分方程模型,差分方程若干离散点上未知变量数值的方程.,描述离散时间段上客观对象的动态变化过程.,现实世界中随时间连续变化的动态过程的近似.,建立湖泊污水浓度以周为时段的差分方程模型.,例湖泊污水浓度,受上游河流的流量、污水浓度等因素影响，湖泊污水浓度随时间变化.,每周对湖泊和上游河流监测一次,获取数据.,差分方程的基本类型及求解3.1贷款购房3.2管住嘴迈开腿3.3物价的波动3.4动物的繁殖与收获3.5中国人口增长预测全国大学生数学建模竞赛2007年A题,3.差分方程模型,差分方程的基本类型及求解,xk未知变量x在时段k的数值(k=0,1,2,),1.一阶线性常系数差分方程,a,b常数,由x0按照方程递推计算x1,x2,求解公式,a1,k,稳定平衡点,2.二阶线性常系数差分方程,由x0,x1按照方程递推地计算x2,x3,求解公式,1,2特征根,c1,c2常数,初始值x0,x1代入求解公式确定.,特征方程,k,稳定平衡点,1,21,x0,y0稳定,=1.21,讨论稳定条件,二阶线性常系数差分方程,差分方程模型的推广,1,2特征根,特征方程,稳定平衡点,1,21,比原模型的稳定条件放宽了.,差分方程模型的推广,特征方程,稳定条件(xkx0):1,20.,0si1,sn=0,模型建立,第1年龄组(出生婴儿)k+1时段数量=各年龄组k时段繁殖数量之和.,k时段第i年龄组存活的部分到k+1时段演变为第i+1年龄组.,n个变量的差分方程组,已知bi,si及xi(0),按年龄分组的种群增长模型,k=0,1,2,模型建立,Leslie矩阵(L矩阵),按年龄分组的种群数量,x(k)的归一化向量，按年龄分组的分布向量.,Leslie模型,模型求解,例.种群分5个年龄组,繁殖率为b1=0,b2=0.2,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2,存活率为s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1,各年龄组初始数量均为100只.,求任意时段各年龄组数量x(k)及分布向量x*(k).,x(0),模型求解,x*(k)趋向稳定,x(k)仍在增长,k充分大,结果分析,分析k充分大后x(k),x*(k)的变化规律,稳定状态分析的数学知识,对应特征向量x,矩阵L存在最大特征根(正单根),c常数,满足,结果分析,k充分大x(k),x*(k)的特性,特征向量,1.分布向量稳定分布.,2.数量,与初始分布无关.,各年龄组数量按同一倍数(固有增长率)增减.,3.=1时x(k)cx,si等于同一时段相邻年龄组的数量比.,结果分析,用算例验证x(k),x*(k)的特性,x*=0.4559,0.2223,0.1734,0.1353,0.0132T,模型求解中x*(30)近似于x*,1.由L计算得到=1.0254,2.模型求解中xi(30)与xi(29)之比约为=1.0254.,3.=1.0254比1略大,xi+1(30)与xi(30)之比近似于si,饲养动物种群的持续稳定收获模型,同一年龄组种群的收获量在每个时段都相等,实现方法:每个年龄组每个时段种群的增长量=同一时段的收获量.,控制饲养动物各年龄组的数量,实现持续稳定收获:,假定自然环境下饲养动物仍服从种群增长模型:,种群数量始终不变.,xi(k)第i年龄组第k时段的种群数量.,hi第i年龄组种群的收获系数(收获量与总量之比),模型建立,增长量=收获量,种群增长模型,实现持续稳定收获种群数量x(k)=x(对k不变),模型建立,持续稳定收获,的最大特征根,给定bi,si，选择收获系数hi,持续稳定收获,种群数量的稳定分布：,模型建立,的特征向量(),持续稳定收获,增长量=收获量,模型求解,例.设一个种群分成个年龄组,各年龄组的繁殖率为b1=0,b2=5,b3=2,存活率为s1=0.8,s2=0.5.,确定各年龄组的收获系数以实现持续稳定收获.,持续稳定收获的条件,1.取h1=0,h2=0.75,h3=1,求种群及收获量按年龄组的稳定分布.,持续稳定收获,2.取h1=0.5,h2=0.5,h3=1,模型求解,满足持续稳定收获条件,2.出售50%的幼畜和成年牲畜及全部老年牲畜.,收获量的稳定分布,种群数量的稳定分布,1.不出售幼畜,出售75%成年牲畜及全部老年牲畜.,1.h1=0,h2=0.75,h3=1,2.h1=0.5,h2=0.5,h3=1,1.，2.,1.，2.,小结与评注,人口增长与动物种群数量变化规律相同,类似建立离散型女性人口模型Leslie模型,模型基本假定：种群参数(繁殖率、存活率)只与年龄有关,与时段无关(稳定环境、时间不长).,Leslie矩阵为常数矩阵L可用特征根方法作稳定性分析.,3.5中国人口增长预测,全国大学生数学建模竞赛2007年A题,以发表在工程数学学报2007年增刊二上学生优秀论文为基本材料,加以整理,介绍建模过程.,赛题原文,中国是一个人口大国,人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一.根据已有数据,运用数学建模的方法,对中国人口做出分析和预测是一个重要问题.,近年来中国的人口发展出现了一些新的特点,例如,老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高,以及乡村人口城镇化等因素,这些都影响着中国人口的增长.2007年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录1)还做出了进一步的分析.,赛题原文,试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发,参考附录2中的相关数据(也可以搜索相关文献和补充新的数据),建立中国人口增长的数学模型,并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测;特别要指出你们模型中的优点与不足之处.,关于中国人口问题已有多方面的研究,并积累了大量数据资料.附录2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据.,附录2中国人口统计年鉴中的部分数据及其说明,附录1国家人口发展战略研究报告,赛题原文,2005年人口抽样数据,20岁城市男性占城市总人口的0.69%,死亡率为20岁城市男性总人口的0.59,20岁城市生育子女的妇女占20岁城市妇女总人口的29.01,问题分析,用数学建模预测人口增长的方法：差分方程、微分方程、回归分析、时间序列等.,结合所给数据以差分方程组的Leslie模型为基础.,考虑不同地区、不同性别人口参数的差别及农村人口向城市迁移等因素.,按照地区和性别建立以时间和年龄为基本变量的中国人口增长模型.,利用历史数据估计生育率、死亡率及人口迁移等参数，代入模型求解并作预测.,模型假设,中国人口是封闭系统,将数据中的市、镇合并为城市,与农村(乡)作为两个地区;只考虑农村向城市人口的单向迁移,不考虑与境外的相互移民.,对中短期人口预测,生育率、死亡率及人口迁移等参数用历史数据估计;长期预测考虑总和生育率的控制、城镇化指数的变化趋势等因素.,女性每胎生育一个子女.,模型建立,k年,i岁(不满i+1岁),地区j(j=1城市,j=2农村),性别l(l=m男性,l=w女性)的人口数量.,死亡率(死亡人数占总人数的比例).,存活率.,生育率(k年每位i岁女性平均生育婴儿数).,婴儿性别比(男婴比例).,i1,i2育龄区间.,迁移数量(迁入为正,迁出为负).,模型建立,模型建立,k年每位育龄女性的生育数.,假定所有女性在育龄期间都保持这个生育数.,表述、控制人口增长的重要指标.,生育率(k年每位i岁女性生育数)分析,生育模式(i岁女性生育数在育龄女性中的比例).,模型建立,农村向城市迁移的人口数量,假设单向迁移,人口分布向量,存活率矩阵,生育模式矩阵,人口迁移向量,模型建立,按地区和性别划分、以年龄为离散变量、随时段演变的人口发展模型.,因生育过程使女性人口出现在男性人口方程中,导致方程之间的耦合作用.,4n阶差分方程组,参数估计,人口发展模型可表为,存活率的估计,死亡率与年龄关系大,与地区、性别和时间的关系小.,中短期预测：将过去若干年不同地区、性别和各年龄人口的死亡率简单地取平均值.,长期预测：用统计方法对历史数据加以处理，并参考发达国家人口死亡率的演变过程给出估计值.,参数估计,中国几十年来死亡率降低较快,未来趋势仍持续下降.,参数估计,生育率的估计,中国女性生育率已在持续下降后大致保持稳定.,中短期预测：将过去若干年不同地区、性别和各年龄人口的生育率简单地取平均值.,长期预测：设定几个不同水平的总和生育率,生育模式可采用概率论中的分布:,ic生育高峰年龄,婴儿性别比可由数据中0岁男婴和女婴的比率得出.,人口迁移的估计,参数估计,农村迁移的人口总数按照城镇化率的增长估算.,k年全国城镇、农村和总人口,城镇化率,根据历史数据预测,k年农村迁移人口总数,迁移人口年龄、性别分布用典型城市的资料代替.,迁移人口比例,模型求解,选定初始年份用人口发展模型递推计算,全面、完整地描述人口的演变过程.,人口指数简明反映一个国家或地区的人口特征.,人口总数,平均年龄,模型求解,人口指数,平均寿命,按k年死亡率计算的k年出生人口平均存活时间.,老龄化指数,平均年龄与平均寿命之比,抚养指数(k),每个劳动力平均抚养的无劳动力人数,L(k)劳动力人数,i