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单输入单输出非线性系统反馈的基本理论,输入输出线性化相对阶零动态渐进输出跟踪,输入输出线性化,单输入单输出仿射非线性控制系统：是状态变量；y是输出函数；f和g是上充分光滑的向量场；h是充分光滑的非线性函数。为研究输入输出间的动态响应关系，对y求导可得：表示h沿向量场f和g的变化率。,(1),(2),单输入单输出非线性系统反馈的基本理论,如果对所有x都有界且不等于0，则通过以下状态反馈率可以得到输出y对新输入v的一阶线性系统：于是存在函数使得当时，系统的输入输出是呈线性对应关系的。显然，经过反馈变换后得线性系统(4),采用常规的线性反馈就可以保证输出具有良好的动态特性。,(3),(4),单输入单输出非线性系统反馈的基本理论,如果恒等于0，我们期望找出系统输入输出高阶动态特性的依赖关系。对式(2)再求导得：如果有界且不等于0，则同样可通过下列状态反馈得到输入为v，输出为y的二阶线性系统：,(6),(5),(7),单输入单输出非线性系统反馈的基本理论,更一般地，如果当有界不等于0.则在状态反馈可得到输入为v，输出为y的r阶线性系统：如果能找到有限整数r使得上述条件成立，则显然我们能通过适当的反馈变换使原系统的输入输出关系是线性的。为进一步分析，我们引入非线性系统中的相对阶概念。,(8),(9),单输入单输出非线性系统反馈的基本理论,相对阶,单输入单输出仿射非线性控制系统：在点处具有相对阶r，如果相对阶的作用与线性系统传递函数中的零点类似。线性系统的相对阶可以解释为极点数与零点数之差。,单输入单输出非线性系统反馈的基本理论,零动态,在以传递函数阵描述的系统中，当s趋于无穷时，如果传递函数收敛于一个常数（若为0则为严格正则），则为正则系统。在状态方程描述的系统中根据直接传输阵D的不同可判断正则系统，以下两种情形均为正则系统：1.D行满秩。2.D列满秩。,单输入单输出非线性系统反馈的基本理论,前面输入输出线性化控制规律式(8)使得闭环系统从输入v到输出y的传递函数为，但n-r个状态变量将由于状态反馈而不能观，没有必要单独表示这些分量的轨迹。为了将方程写成更加紧凑的形式，引入新的向量符号一个相对阶rn的单输入单输出非线性系统的正则形式可以写成,单输入单输出非线性系统反馈的基本理论,零输出问题和零动态,零输出问题描述：找到（如果存在）由一个初始状态和一个输入函数组成的队，该对在t=0一领域内对所有t有定义，使系统相应的输出函数，对在t=0一领域内的所有t，恒为零。,单输入单输出非线性系统反馈的基本理论,在系统的正则形式中，有约束，对所有t，意味着即另外,输入u（t）必是下方程的唯一解由于，的行为由以下微分方程支配,由此可推得：如果输出y(t)必须为零，则系统的初始状态必须设定为使而可任意选择。按的值，输入必须取为其中表示下微分方程的解：当输入和初始条件已被选择得能约束输出恒为零时，上述微分方程的动态对应于描述系统“内部”行为的动态，这些动态被称为零动态。,单输入单输出非线性系统反馈的基本理论,例：考虑如下系统由题意可知,该系统对所有x有相对阶2,单输入单输出非线性系统反馈的基本理论,选择状态变换系统变换成下列形式：令其零动态系统为：,单输入单输出非线性系统反馈的基本理论,渐进输出跟踪,寻求输入和适当的初始条件，使得系统的输出渐进地收敛到给定的参考信号，这个问题称为跟踪输出问题。考虑一个标准形系统选择定义一个误差,单输入单输出非线性系统反馈的基本理论,由于在结构上有输入具有如下表达形式：如果对所有t，有，则所讨论的输入正好简化为准确得到参考输出所需的输入。输入在原坐标下有表达式此时有即误差函数满足一个r阶的线性微分方程，这个微分方程的系数可以随意配置，其特征方程的根可以任意配置。我们可