高数1.2 极限的定义与性质幻灯片.ppt

,第一章,1.2.1、自变量趋于有限值时函数的极限,1.2,自变量变化过程的六种形式:,1.2.3、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容:,机动目录上页下页返回结束,函数的极限,1.2.2、单侧极限,1.2.4、无穷极限,1.2.5极限的性质,1,1.2.1、自变量趋于有限值时函数的极限,例1.2.1考察函数,在当x趋向于1时函数值,的变化。,解,如图，该函数定义域为,考察x从x=1的左侧及右侧接近1时，,其函数值的变化情况。,列表如下,2,结论：当x充分接近1（但不等于1）,y的值接近于常数2.,一般地，我们有,3,或,反之，,若不存在这样的常数A，,则称当,时,没有极限或极限不存在。,则例1.2.1可表示为,4,例1.2.2设函数,求,解,如图，,观察其函数图象，得,5,例1.2.3求,解,如图，,观察其函数图象，得,解,如图，,观察其函数图象，得,例1.2.4求,6,例1.2.5求,不存在.,解,如图，,观察其函数图象，得,7,1.2.2.单侧极限,（或,有时记为,（或,8,例1.2.6.设函数,讨论,时,的左右极限是否存在.,解:,如图,9,例1.2.7设函数,求,解,如图，,和,由这两个例子，得一般地,定理1.2.1.,10,机动目录上页下页返回结束,1.2.3、自变量趋于无穷大时函数的极限,例1.1.8,11,一般地，,（或,12,于是在例1.1.8中,13,定理1.2.2.,例1.1.9设,求,解,如图,所以,不存在。,14,有一类特别地、重要的极限,定义1.2.4.若,时,函数,则称函数,为,时的无穷小.,例1.1.10因为,故当,时函数,为无穷小.,例1.1.11因为,故当,时函数,为无穷小.,15,例1.1.12如图,故当,时函数,为无穷小.,当,时函数,接近于0，,所以,但当,时函数,不是无穷小.,注1:,无穷小与很小的数。,注2:,无穷小是与x的变化过程有关。,16,机动目录上页下页返回结束,1.2.4、无穷极限,例1.1.13,y值不断增大，,且有一种趋势，,趋向正无穷大。,此时极限并不存在，,记为,y值不断减小，,且有一种趋势，,趋向负无穷大。,此时极限并不存在，,记为,17,机动目录上页下页返回结束,或,记作,如果上述定义中将,(或,叙述成,则称,当x趋近,时函数,趋向于无穷大，,记作,18,注1:,上述中的极限称为无穷极限.,注2:,无穷大是与x的变化过程有关。,无穷极限并不代表,极限存在。,注3:,和无穷小类似，不要把无穷大与很大的数(如一亿)混淆.,注4:,无穷大一定无界,反之不然.,19,机动目录上页下页返回结束,例1.1.14求,解如图,所以,20,机动目录上页下页返回结束,例1.1.14求,解如图,所以,不存在。,21,定理1.2.4(局部有界性）,若,则存在,1.2.5极限的性质,最后无穷大与无穷小有如下的关系,定理1.2.3,在自变量的同一极限变化过程中,如果函数,为无穷大，,则,为无穷小；,反之如果,为无穷小，,则,为无穷大。,的一个,邻域，,使得函数,在该邻域里有界。,定理1.2.5(唯一性）,若,存在，,则极限唯一。,在自