模糊值函数分析学的表述理论与应用研究.ppt

模糊值函数分析学的表述理论与应用研究,一、模糊值函数分析学面临的困难和问题,模糊系统的数学理论及应用技术之所以能被人们所接受，并使得该学科在近四十年里得到快速的发展，主要取决于人类社会、生产实践中存在的广泛而深刻的应用背景。模糊系统的数学理论的发展很大程度上取决于模糊工程技术与应用的发展。工程应用是模糊数学理论发展的原动力，也是模糊数学服务于社会生产实践的主要核心。,然而，模糊数学发展40年，至今提供给我们用以解决社会生产实践问题的方法主要还集中在模糊文法、代数和逻辑的原理与方法上，特别是模糊分析学还没能象经典分析数学那样被广泛的社会生产实践所运用。,我们知道,普遍应用的经典数学方法包括数学物理方法、运筹学、数理统计以及近些年发展起来的各种非线性数学方法等，无不与300年来逐步发展起来的以微积分理论为主线的数学分析相联系,以至于人们提到数学自然就会联系到微积分。,尽管在八十年代初人们就提出了多种模糊值函数的微积分概念，并做了大量有数学理论意义的工作。但是，由于受到模糊实数空间和模糊值函数性质研究的困难，特别是模糊数运算和模糊值函数的解析表达困难（即无法写出模糊值函数的解析表达式）等制约，研究成果还只能限于理论上的构造性描述，与实际应用还存在较大的距离，这应该说是模糊数学的一个重大缺陷。,从不确定性数学的发展体系上讲，把模糊分析作为区间分析的拓广是自然而有意义的。在此思想基础上提出的模糊数的运算、模糊值函数微分和黎曼意义的积分的理论框架也具有深刻的客观背景。区间分析的理论经过几十年的发展已较为成熟，在模糊数学中，连接模糊分析与区间分析的桥梁是扩张原理。然而，扩张原理表述上的遍历性质造成模糊分析的难度增大，进而使得模糊数、模糊值函数的运算和变换无法进行实际操作,这也是影响模糊分析方法实际运用的障碍之一。,若要使得模糊分析数学能够象经典分析数学那样有效地解决现实世界的客观问题，至少要在如下几个与应用有实质联系的问题上取得突破：,1、模糊数运算的快速表达问题；2、模糊数空间的度量及性质研究；3、模糊值函数的解析表达问题；4、模糊值函数的运算的解析表达；5、模糊值函数的微积分运算的解析表达；6、模糊微分方程的求解方法及解的解析表达；7、模糊级数的敛散性判别与求和问题。,二、模糊结构元及其单调变换,于是，我们提出模糊结构元的概念（2002年）：定义2.1设E为实数域R上的模糊集，隶属函数记为E(x),xR.如果E(x)满足下述性质：1)E(0)=1,E(1+0)=E(-1-0)=0;2)在区间-1,0)上E(x)是单增右连续函数,在区间(0,1上是单降左连续函数；3)当-x-1或者1x0;（2）在区间-1,0)上E(x)是连续且严格单调增的,在区间(0,1上是连续且严格单调降的，则称E为正则模糊结构元。若E(-x)E(x)，则称为对称结构元。,下面是一些特殊的模糊结构元的隶属函数图形。,定理2.1设E是R上的任意模糊结构元,具有隶属函数E(x)，又设函数f(x)在区间-1,1上是单调有界的，f*(x)是f(x)的延拓集值函数，则A=f*(E)是R上有界闭模糊数，且A的隶属函数为E(f-1(x)，这里f-1(x)称为关于变量x和y的轮换对称函数(若f(x)是连续严格单调的，则f-1(x)是f(x)的反函数)。在不致于引起混淆的情况下，记f*(x)为f(x)，记f*(E)为f(E).,定理2.2对于给定的正则模糊结构元E和任意的有界闭模糊数A,总存在一个在-1,1上的单调有界函数f,使得A=f(E).,三、模糊数运算的结构元表示,用D-a,a表示对称区间-a,a上的同序单调有界函数全体。fD-a,a，定义f的几个同序单调变换：0：f0(f);0(f)(x)=f(x),1:f1(f);1(f)(x)=-f(-x)2:f2(f);2(f)(x)=f(-x)-13:f3(f)；3(f)(x)=-f(x)-1,记T=0,1,2,3,在T上引入“乘法”运算,ij:fij(f)=j(i(f)。采用验证方法不难证明，T关于定义的乘法运算是封闭的,满足交换律,0是单位元,对于任何i有ii=0.不难看出对称区间上单调函数的同序单调变换集合T对于上述规定的乘法构成一个交换群，称作单调函数的同序变换群。,个同序单调函数,模糊数A=f(E)，B=g(E),则A+B=f(E)+g(E)(f+g)(E),定理3.2设E是对称模糊结构元,f和g是-1,1上两个同序单调有界函数，模糊数A=f(E)，B=g(E)，则A-B=f(E)-g(E)=f+1(g)(E)模糊数A-B的隶属函数为E(f+1(g)-1(x),类似地，我们得到了模糊数乘法和除法的结构元表示。,模糊数A+B的隶属函数为E(f+g)-1(x),设E是模糊结构元,如果f和g是-1,1上两,定理3.1,四、模糊值函数的解析表示,设N(R)是R上的有界闭模糊数全体，X和Y是两个实数集，DX,是D到N(Y)上的映射，对于xD,存在唯一的模糊数N(Y),记=(x)，称为D上的模糊值函数。,任意有界模糊值函数，总存在XY上的一个二元函数g(x,y),且对任意确定的xX,g(x,y)是关于y在-1,1上的单调有界函数，使得=g(x,E).该定理是定理2.2的自然推广。,对于给定Y上的一个正则模糊结构元E和X上的,定理4.1,五、模糊值函数微分的模糊结构元表示,设是区间DX上的模糊值函数,区间值函数,是的截集，的导数为,如果对于(0,1，可导，则称模糊值函数在D上可导，导函数为,1、基于扩张原理的模糊值函数微分,定义5.1,是由模糊结构元E生成的模糊值函数,其中,在-1,1上的单调有界函数，并且构成X上的有序锥或局部有序锥。若函数在DX上关于x可导，则称在D上可导,其导函数定义为,2、模糊值函数微分的结构元表示,是关于y,可以证明，上述定义与基于扩张原理的模糊值函数微分定义是完全等价的。,设,六、模糊值函数黎曼积分的模糊结构元表示,设,为DX上的模糊值函数,的,若对于,f1()(x)和f2()(x)在D上黎曼可积,则称,在D上可积，其积分值为,其中,1、基于扩展原理的模糊值函数黎曼积分,截集为,2、模糊值函数积分的结构元表示,定义6.1,是由E生成的模糊值函数,如果函数g(x,y)关于变量x在DX上可积，则模糊值函数,在D上可积，且,可以严格的证明，定义6.1与基于扩展原理的模糊值函数黎曼积分是完全等价的。,设,七、同序标准单调有界函数类与模糊实数空间的同胚,定义7.1f是-1,1上单调有界函数，如果对于f的任何间断点x-1,1,都有,则称f(x)为-1,1上的标准单调有界函数，-1,1上的全体同序标准单调有界函数记为B-1,1。我们在B-1,1上引入距离,1、标准单调有界函数,为R上有界闭模糊数的全体，对于任给的函数,存在唯一的模糊数,与之对应，,到,上的一个映射。,即由模糊结构元决定了,记,；,称,为模糊结构元E导出的,上的模糊泛函。,定理7.1距离空间(B-1,1,dL)和（B-1,1,dM)都是完备的。,定理7.2B-1,1是以0为顶点的凸锥。,2、模糊结构元导出的上的模糊泛函,利用B-1,1上的距离dL和dM，由映射HE可以诱导出,上的距离,和,其中,和,分别为A和B在映射,下的原像。,设,其中,则上述两式也可写作,分别为由映射HE从(B-1,1,dL)和,(B-1,1,dM)导出的距离空间。,上的一一等距映射。,易知，HE是从B-1,1到,定理7.3设E是正则结构元，,对于0,1,记,则,定理7.4距离空间(B-1,1,dL)与,模糊实数空间,同胚；,空间(B-1,1,dM),同胚；,和,都是完备的,定理7.5,距离空间。,与,也有国内的学者提出了模糊数的模糊距离概念，事实上，我们也不难验证，模糊数的模糊距离等价于相应两个单调函数关于结构元的加权距离。,由于模糊结构元的单调映射建立了有界模糊实数空间与-1,1上同序单调有界函数类的同胚性质，因此，对模糊实数空间的任何度量性质的研究都可以转换为-1,1上同序单调有界函数类相应性质的研究。如：模糊数列与模糊值函数序列的极限；模糊级数的敛散性；模糊值函数的连续性；模糊数的排序，等等。从这个意义上说，模糊结构元理论为模糊分析学的研究开辟了一个新的有效途径。,八、模糊结构元方法的应用,(1)利用模糊值函数的解析表达形式，研究模糊回归分析与模糊函数拟合问题；(2)利用模糊数运算的结构元表达形式，研究具有模糊系数的线性方程组的计算；(3)含有模糊参数的随机变量分布形式研究，基本上解决了具有模糊参数的系统模糊可靠性的计算问题；(4)具有模糊参数项（模糊数或模糊值函数）的一类模糊微分方程的定解问题；(5)模糊运筹学研究。,已发表该研究方向的学术论著一、学术专著郭嗣琮著.模糊结构元理论与模糊分析数学原理（国家自然科学基金资助).东北大学出版社，2004二、学术论文1郭嗣琮.模糊分析中的结构元方法（）,辽宁工程技术大学学报，5（2002）：670-6732郭嗣琮.模糊分析中的结构元方法（），辽宁工程技术大学学报，6（2002）：808-8103王磊,郭嗣琮.基于结构元模糊值函数的Newton-Laibniz公式，辽宁工程技术大学学报Vol.22,No.5(2003):688-6904苏志雄，郭嗣琮.等式限制型模糊级数,科学技术与工程，6(2004)：4314335郭嗣琮.基于结构元的模糊值函数解析表示与微积分,科学技术与工程，7(2004)：5135176郭嗣琮.模糊分析数学的结构元理论，中国第二届不确定系统年会论集，香港Global-LikInfomattcs出版社，2004年7月，95104,7GuoSizong.Fuzzyanalysisandcalculatebasedonstructuredelement,AppliedComputationalIntelligence,ProceedingsofThe6thInternationalFLINSConference,WorldScientificPublishingCo.Pte.Ltd.2004:128-1348郭嗣琮.模糊实数空间与-1,1上同序单调函数类的同胚，自然科学进展，Vol.14,No11（2004）：1318-13219王磊,郭嗣琮.n阶线性微分方程的模糊初值问题的结构元解法,辽宁工程技术大学学报，Vol.23,3(2004)：41241410赵洪霞，杨皎平，郭嗣琮.基于模糊结构元方法的模糊线性回归模型，辽宁工程技术大学学报，Vol.23,3(2004)：41842011郭嗣琮,王磊.模糊限定微分方程及解的表达形式，辽宁工程技术大学学报Vol.23,4(2004)：553-55512郭嗣琮.基于模糊结构元的模糊级数，模糊系统与数学,Vol.18（增刊），2004:85-8913郭嗣琮，苏志雄,王磊.模糊分析计算中的结构元方法，模糊系统与数学，Vol.18,3(2004):68-7514GuoSizong,SuZhixiong.HomeomorphicPropertyBetweenFuzzyNumberSpaceandFamilyofStandardBoundedMonotoneFunctions,ProceedingsofInternationalISCIIAWorldScientificPublishingCo.Pte.Ltd.2004,15郭嗣琮.基于结构元的模糊值函数分析学的表述理论，自然科学进展Vol.15,No5（2005）：547-55216郭嗣琮.基于结构元的模糊值函数的一般表示方法，模糊系统与数学，1(2005):82-8617SuZhixiong,GuoSizong.FuzzyoperationwithrequisiteequalityconstraintJ.Int.J.ofAdvancesinSystemsScien