第5章线性时不变系统的多项式矩阵描述.ppt

5.1多项式矩阵描述(PMD)5.2多项式矩阵描述的状态空间实现5.3多项式矩阵描述的互质性和状态空间描述的能控性与能观测性5.4传输零点和解耦零点5.5系统矩阵和严格系统等价,第5章线性时不变系统的多项式矩阵描述,主要的数学描述,5.1多项式矩阵描述(PMD),一多项式矩阵描述的形式,多输入多输出线性定常系统：,系统的多项式矩阵描述为：,注：它是系统的内部描述，是最一般的描述。,二.PMD和其他描述的关系,则状态空间描述等价的PMD为：,1多项式矩阵的传递函数矩阵,2状态空间描述的PMD,3.矩阵分式描述的PMD,则等价的PMD为：,不可简约PMD：P(s),Q(s)左互质，且P(s),R(s)右互质不可简约PMD不唯一P(s),Q(s),R(s),W(s)不可简约U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)不可简约U(s),V(s)为单模矩阵,三.不可简约PMD,由可简约PMD求不可简约PMD（1）P(s),Q(s)非左互质，P(s),R(s)右互质此时，P(s),Q(s)有非单模的gcld,设为H(s),非奇异则,(2)P(s),Q(s)左互质，P(s),R(s)非右互质P(s),R(s)有非单模的gcrd,设为F(s),必非奇异,（3）前两种情况的组合P(s),Q(s)非左互质，消去其gcldH(s),得,5.2PMD的状态空间实现,一.PMD实现的定义给定P(s),Q(s),R(s),W(s)，若能找到状态空间描述A,B,C,E(p)，使注：PMD实现具有强不唯一性二.构造PMD实现的方法以构造观测器形实现为最简便已知：P(s),Q(s),R(s),W(s),求实现,思路：前面已讲过的MFD实现方法，要求分母矩阵行（列）既约，严格真；在P(s)(s)=Q(s)u(s)中，先求的实现。步骤：先把化成满足左MFD求实现的条件，即P(s)化为行既约，严格真；,-对求观测器形实现（利用上节方法），得必有-总之,实现为,最小实现当且仅当PMD为不可简约时，其维数为n=degdetP(s)的任何实现均为最小实现。,结论对线性时不变系统的PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s),表而为严真的观测器形实现，则PMD的一个实现(A,B,C,E(p)为：,5.3多项式矩阵描述的互质性和状态空间描述的能控性与能观测性,互质性与能控性、能观性的等价性1.给定P(s),Q(s),R(s),W(s)，其维数为n=degdetP(s)=dimA的一个实现为A,B,C,E(p)，则P(s),Q(s)左互质A，B能控P(s),R(s)右互质A，C能观2.对右MFD，能控类实现:A，B，C，E，dimA=degdetD(s)则：D(s),N(s)右互质A,C能观（已经能控）对左MFD，能观类实现：,3.对A,B,C,E(p),A，B能控sI-A，B左互质A，C能观sI-A，C右互质此即为PBH秩判据的结论。4.SISO系统A，b，c，则:系统完全能控且能观g(s)无零极点相消系统完全能控adj(sI-A)b和(s)无零极对消现象系统完全能观cadj(sI-A)和(s)无零极对消现象,5.4传输零点和解耦零点,一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不是等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子集。同一系统，其PMD为P(s),Q(s),R(s),W(s)，系统极点是detP(s)=0的根状态空间描述为A,B,C,E系统极点是det(sI-A)=0的根以上二者是等同的。系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递函数矩阵时可能发生零极对消。对消掉的零极点不包含在传递函数矩阵中，成为系统的解耦零点。,1.输入解耦零点(inputdecouplingzero)若P(s),Q(s),R(s),W(s)中，P(s)、Q(s)存在非单模的gcldH(s)，即可见，H(s)在传递函数矩阵中消失了，这导致了零极点对消。定义：detH(s)=0的根为输入解耦零点。意义：这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了耦合，即输入信号不能影响这些极点所对应的状态。由于所以，输入解耦零点又等于使P(s)Q(s)行降秩的s值。,2.输出解耦零点(outputdecouplingzero)若P(s)和R(s)存在非单模的gcrdF(s)意义：输出解耦零点使输出与分状态之间的耦合解除了，即分状态不完全反映到系统输出中去。,3.输入输出解耦零点若P(s)和Q(s)存在非单模的左公因子L(s),(不一定gcld)同时P(s)和R(s)也存在非单模的右公因子L(s)即显然，L(s)的零点都是解耦点，并且既是i.d.z.,又是o.d.z.这样的L(s)的零点称为输入输出解耦零点，i.o.d.z,注：求传递函数矩阵时，应消去P(s)与Q(s)的左公因子和P(s)和R(s)的右公因子，使传递函数矩阵的零极点不包含解耦零点。若记P和Z为传递矩阵的极点、零点，则系统的极点Ps和零点Zs分别为,传递矩阵的零极点,O.d.zI.o.d.zI.d.z,输入,输出,5.5系统矩阵和严格系统等价,一系统矩阵的概念,PMD的系统矩阵定义为：,1系统矩阵的定义,状态空间描述的系统矩阵：,线性定常系统右MFD的系统矩阵定义为：,MFD的系统矩阵：,左MFD的系统矩阵为：,2判断PMD的不可简约性,3PMD的极点和零点,若PMD不可简约，则：PMD的极点=使S(s)左上方mm块矩阵降秩s值PMD的传输零点=使S(s)降秩s值,4PMD的解耦零点,若PMD可简约，则：PMD的输入解耦零点=使S(s)的前m行降秩s值PMD的输出解耦零点=使S(s)的前m列降秩s值,二增广系统矩阵的概念,PMD的增广系统矩阵定义为：,1增广系统矩阵的定义,其中：为正整数且可按需要任取。,不可简约性相同,2系统矩阵和增广系统矩阵的等价性,互质性相同,极点和传输零点相同,解耦零点相同,传递函数矩阵相同,分母矩阵行列式相同,三严格系统等价的概念,称系统矩阵和是严格系统等价的，当且仅当存在mm的单模阵U(s)和V(s)，以及qm和mp的多项式矩阵X(s)和Y(s)，使成立：,1严格系统等价的定义,结论1和严格系统等价时，满足：,2严格系统等价的性质,和具有相同的不变多项式,和具有相同的传递函数阵,结论2两个状态空间描述是代数等价的，当且仅当它们的系统矩阵,是严格等价的。,结论3系统的各种结构特性，如左互质和右互质、能控性和能观性等，在严格等价变换下是不变的。,结论4传递函数矩阵G(s)的所有不可简约实现是严格系统等价的；所有不可简约的MFD是严格系统等