第三章ppt修改后第34章ppt修改后陈佳鑫3-2

3.2向量组的线性相关性,3.2.1向量组的线性相关与线性无关,3.2.2向量组线性相关性的判别法,3.2.3向量组的线性相关性的一些性质,3.2.1向量组的线性相关与线性无关,定义3.2.1设1,2,m,都是数域p上的n维向量，如果存在数域p上的数k1,k2,km，使得,则称是向量1,2,m的线性组合，或称可由向量组1,2,m线性表出。,例如，向量1=(1,1,0)，2=(1,-1,1)，=(2,0,1)，则=1+2，因此向,量是向量1,2的线性组合，也可以说，可由向量1,2的线性表出,设n维向量,则任何一个n维向量=(a1,a2,an)，都可由1,2,n线性表出：,我们称1,2,n为基本单位向量。,定义3.2.2设1,2,m是数域p上的m个n维向量，如果存在数域p上的m,个不全为零的数k1,k2,km，使得,则称向量组1,2,m是线性相关的.如果向量组1,2,m不是线性相关的,就称为线性无关的.,由定义可知，当一个向量组中含有零向量时，它一定是线性相关的.当它全为非零向量时，可能线性相关也可能线性无关.一个线性无关的向量组的特点是，它只有系数全为零的线性组合才是零向量,除此之外,它不再有别的线性组合是零,向量.因此，对于向量组1,2,m,要验证它是线性无关的，只需验证等式,只有当,k1=k2=km=0,时才成立。,设向量组1=(3,-1,0),2=(1,0,-1),3=(2,-1,1),由于,由定义3.2.2,向量组1,2,3线性相关。,例3.2.1试证：n维基本单位向量组1,2,n线性无关。,证令,即,于是,因此,由定义3.2.2,向量组1,2,n线性无关,判断一个向量组是否线性相关，往往把其转化为对线性方程组是否有非零解的讨论.,例3.2.2讨论向量组:1=(2,1,1)，2=(1,2,-1)，3=(-2,3,0)的线性相关性。,解设k11+k22+k33=0即,从而,（3.2.1）,因为齐次线性方程组（3.2.1）的系数行列式,所以该方程组只有唯一零解：k1=k2=k3=0因此向量组1,2,3线性无关。,例3.2.3讨论向量组:1=(0,2,1,3)，2=(3,1,0,1)，3=(1,1,1,2)，4=(2,-4,-3,-7)的线性相关性。,解设,k11+k22+k33+k44=0(3.2.2),则k1,k2,k3,k4满足下列齐次线性方程组,(3.2.3),所以该方程组有非零解，因此存在一组不全为零的数k1,k2,k3,k4使(3.2.2)成立，故向量组1,2,34线性相关,例3.2.4设向量组1，2，3的线性无关，证明：,(1)向量组1-3，21-2，23-2线性相关；,由1，2，3线性无关，所以,(2)向量组1-2，2-3，3+1线性无关。,证（1）设,即,。,因为线性方程组（3.2.5）的系数行列式,（3.2.5）,所以该方程组有非零解，即存在一组不全为零的数k1,k2,k3,使(3.2.4)成立，故向量组1-3，21-2，23-2线性相关;,（2）同理，设,即,.于是,.。,因为线性方程组（3.2.7）的系数行列式,所以该方程组只有唯一零解，即只有当k1=k2=k3=0，(3.2.6)式才成立，故向量组1-2，2-3，3+1线性无关。,下面给出一个向量组线性相关和线性无关的判定条件。,定理3.2.1向量组1,2,m(m2)线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量可由其m-1余个向量线性表出。,即s可由1,2,s-1,s+1,m线性表示出。,由1,2,m线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,km,使得,证必要性,不妨设ks0(0sm)，于是,充分性,不妨设1,可由2,3,m线性表出，即有数k2,km,使得,故向量组1,2,m线性相关，证毕。,即存在一组不全为零的数1,-k2,-km,使下式成立,，,，,推论向量组1,2,m(m2)线性无关的充分必要条件是：其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。,定理3.2.2若向量组1,2,m无关，而1,2,m,线性相关，则可由1,2,m,线性表出，而且表法唯一,证由向量组1,2,m,线性相关，即存在一组不全为零的数k1,k2,km,k使得,若k=0，则有不全为零的数k1,k2,km,使得,即1,2,m线性相关，与已知矛盾,所以k0，于是,下证表法的唯一性。,若有两种表法：,两式相减，得,因1,2,m线性无关，故必有,即,所以表法唯一.证毕.,3.2.2向量组线性相关性的判别法,下面我们给出一些向量组线性相关性的判别法，它的特点是把向量组的线性相关性与矩阵的秩联系起来。,设向量组,以它们为行（或列）可确定一个矩阵,，,定理3.2.3向量组1,2,m线性相关的充要条件是R(A)m,反之，若把矩阵A的每一行（或列）看作一个向量，则可确定一个向量组,证必要性.设向量组1,2,m线性相关，欲证R(A)m,若nm，则显然有R(A)m，由已知条件，则显然有m个行向量中至少有一个是其余m-1个行向量的线性组合.,不妨设m是1,2,m-1的组合，即,对矩阵A进行初等行变换，则,.,于是有R(A)=R(A)m-1，即R(A)m。,充分性，设R(A)=rm，由定理2.5.4推论2，存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得,，,即,。,令,，,则由矩阵的分块乘法可得,比较上式两端，得,由于P为可逆阵，所以它的最后一行元素pm1,pm2,pmm不全为零，从而向量组1,2,m线性相关.证毕,定理3.2.3的结论对于列向量组也是成立的。,设向量组,则矩阵（3.2.8）可写为,仿照定理3.2.3的证明,可以得到,定理3.2.3向量组1,2,m线性相关的充要条件是R(A)n。,由定理3.2.3和3.2.3可以证明。,推论1mn矩阵A个m行向量线性无关的充要条件是R(A)n；mn矩阵A个的n个列向量线性无关的充要条件是R(A)=n,推论2如果一个向量组中向量的个数m大于向量的维数n,则该向量组线性相关；特别地,任意n+1个n维向量必定是线性相关的.,证以这m个向量作行向量构成mn矩阵A,则,由定理3.2.3，这m个向量线性相关,推论3设i=(i1,i2,in)，i=1,2,n，即,(1)n个n个维向量线性无关的充分必要条件是:,(2)n个n个维向量线性相关的充分必要条件是:,3.2.3向量组的线性相关性的一些性质,下面我们给出向量组线性相关性的一些性质。,性质1含有零向量的向量组必线性相关。,性质2向量组若有一个部分组线性相关，则整个向量组也线性相关。,证不妨设1,2,t(tm)为向量组1,2,m中的一个部分组，且它们线性相关.于是，存在一组不全为零的数k1,k2,kt,使得,从而,因为k1,k2,kt,0,0,，0，不全为零，从而1,2,m线性相关,性质3若向量组线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关。,性质4若向量组,，,线性相关,则去掉最后r个分量(1rn)后,所得到的向量组:,也线性相关