五点差分格式.ppt

微分方程数值解,计算科学系杨韧,第三章椭圆型方程的差分格式,3.1正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟,设是xy平面中的具有正方形边界的一个有界区域，考虑Laplace方程的第一边值Dirichlet）问题,网格节点（l，m）处的二阶中心差商代替二阶微商,Laplace方程的五点差分格式(3.6)为截断误差为O(h2)。,令则Laplac方程的五点差分格式为（3.8）即,例1用五点差分格式求解Laplace方程在区域内的近似解，边界值为：取。,解网格点如图所示,u(1,0)=20u(2,0)=20u(3,0)=20,u(1,4)=180u(2,4)=180u(3,4)=180,u(0,3)=80u(0,2)=80u(0,1)=80,u(4,3)=0u(4,2)=0u(4,1)=0,矩阵方程AU=K，K由边界条件所确定，解得U=U1U2U3U4U5U6U7U8U9=A-1K=55.714343.214327.142979.642970.000045.3571112.8571111.785784.2857T,加密网格，取h=0.5,定义向量为从左到右，自下而上的自然次序排列的未知函数值，则正方形区域中的内部节点上的(M-1)2个线性方程写为矩阵方程AU=K,其中K由边界条件确定.,3.2Neumann边值问题的差分模拟,表示函数u沿着边界的外法线方向导数，在正方形的四个顶点上法向量没有定义，取平均值代替。,讨论左边界x=0上的导数边值条件的差分模拟又由点（0，m）的五点差分格式消去U-1,m，得,0,m+1,-1,m0,m1,m,0,m-1,边界x=0上(3.14)边界x=1上(3.15)边界y=0上(3.16)边界y=1上(3.17),边界x=0,-2U1,m,-U0,m+14U0,m-U0,m-1,-2UM-1,m,-UM,m+14UM,m-UM,m-1,-Ul-1,04Ul,0-Ul+1,0,-2Ul,1,-Ul-1,M4Ul,M-Ul+1,M,-2Ul,M-1,边界x=1,边界y=0,边界y=1,在顶点（0，0）,取偏导数的平均值作为外法线方向导数用一阶中心差商代替微商在顶点（0，0）,五点差分格式为故,-1,00,01,0,0,1,0,-1,在四个顶点（0，0）（0，M）（M，0）（M，M）,例1在单位正方形区域上解Laplace方程的Nenmann问题解网格节点如图所示,矩阵方程为,令则矩阵方程为,3.3混合（Robins）边值条件,例1用五点差分格式求解Laplace方程在区域内的近似解，边界值为：取。,解网格节点如图所示,U1U2U3,u(1,4)=180u(2,4)=180u(3,4)=180,u(0,3)=80u(0,2)=80u(0,1)=80u(0,0)=80,u(4,3)=0u(4,2)=0u(4,1)=0u(4,0)=0,解矩阵方程AU=KU=71.821856.854332.234275.216561.680636.041287.363678.610350.2502115.6276115.146886.3492