2019高考数学一本策略复习专题五解析几何第三讲第二课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题课后训练文

第三讲 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题1(2018云南师大附中质检)已知椭圆c的焦点在x轴上，离心率等于，且过点.(1)求椭圆c的标准方程；(2)过椭圆c的右焦点f作直线l交椭圆c于a，b两点，交y轴于m点，若1，2，求证：12为定值解析：(1)设椭圆c的方程为1(ab0)，则a25，b21，椭圆c的标准方程为y21.(2)证明：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(0，y0) ，又易知f点的坐标为(2,0)显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是yk(x2)，将直线l的方程代入椭圆c的方程中，消去y并整理得(15k2)x220k2x20k250，x1x2，x1x2.又1，2，将各点坐标代入得1，2，1210，即12为定值2(2018贵阳一模)过抛物线c：y24x的焦点f且斜率为k的直线l交抛物线c于a，b两点，且|ab|8.(1)求l的方程；(2)若a关于x轴的对称点为d，求证：直线bd恒过定点，并求出该点的坐标解析：(1)易知点f的坐标为(1,0)，则直线l的方程为yk(x1)，代入抛物线方程y24x得k2x2(2k24)xk20，由题意知k0，且(2k24)24k2k216(k21)0，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，x1x2，x1x21，由抛物线的定义知|ab|x1x228，6，k21，即k1，直线l的方程为y(x1)(2)由抛物线的对称性知，d点的坐标为(x1，y1)，直线bd的斜率kbd，直线bd的方程为yy1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y4x4x1，y4x1，y4x2，x1x21，(y1y2)216x1x216，即y1y24(y1，y2异号)，直线bd的方程为4(x1)(y1y2)y0，恒过点(1,0)3(2018南宁模拟)已知抛物线c：y2ax(a0)上一点p(t，)到焦点f的距离为2t.(1)求抛物线c的方程；(2)抛物线c上一点a的纵坐标为1，过点q(3，1)的直线与抛物线c交于m，n两个不同的点(均与点a不重合)，设直线am，an的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值解析：(1)由抛物线的定义可知|pf|t2t，则a4t，由点p(t，)在抛物线上，得at，a，则a21，由a0，得a1，抛物线c的方程为y2x.(2)点a在抛物线c上，且ya1，xa1.a(1,1)，设过点q(3，1)的直线的方程为x3m(y1)，即xmym3，代入y2x得y2mym30.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则y1y2m，y1y2m3，k1k2，k1k2为定值4(2018福州四校联考)已知椭圆c：1(ab0)的两个焦点分别为f1，f2，短轴的一个端点为p，pf1f2内切圆的半径为，设过点f2的直线l被椭圆c截得的线段为rs，当lx轴时，|rs|3.(1)求椭圆c的标准方程；(2)在x轴上是否存在一点t，使得当l变化时，总有ts与tr所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点t的坐标；若不存在，请说明理由解析：(1)由内切圆的性质，得2cb(2a2c)，得.将xc代入1，得y，所以3.又a2b2c2，所以a2，b，故椭圆c的标准方程为1.(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点t都满足ts与tr所在直线关于x轴对称当直线l不垂直于x轴时，假设存在t(t,0)满足条件，设l的方程为yk(x1)，r(x1，y1)，s(x2，y2)联立方程，得得(34k2)x28k2x4k2120，由根与系数的关系得，其中0恒成立，由ts与tr所在直线关于x轴对称，得ktsktr0(显然ts，tr的斜率存在)，即0.因为r，s两点在直线yk(x1)上，所以y1k(x11)，y2k(