2019高考数学一本策略复习专题五解析几何第三讲第一课时圆锥曲线的最值、范围、证明问题课后训练文

第三讲 第一课时 圆锥曲线的最值、范围、证明问题1(2018成都模拟)在平面直角坐标系xoy中，已知abc的两个顶点a，b的坐标分别为(1,0)，(1,0)，且ac，bc所在直线的斜率之积等于2，记顶点c的轨迹为曲线e.(1)求曲线e的方程；(2)设直线ykx2(0k2)与y轴相交于点p，与曲线e相交于不同的两点q，r(点r在点p和点q之间)，且，求实数的取值范围解析：(1)设c(x，y)由题意，可得2(x1)，曲线e的方程为x21(x1)(2)设r(x1，y1)，q(x2，y2)联立，得消去y，可得(2k2)x24kx20，8k2160，k22.又0k2，k2.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2.，点r在点p和点q之间，x2x1(1)联立，可得.k2，(4，)，4，3，1，实数的取值范围为(1,3)2(2018武汉调研)已知抛物线c：x22py(p0)和定点m(0,1)，设过点m的动直线交抛物线c于a，b两点，抛物线c在a，b处的切线的交点为n.(1)若n在以ab为直径的圆上，求p的值；(2)若abn的面积的最小值为4，求抛物线c的方程解析：设直线ab：ykx1，a(x1，y1)，b(x2，y2)，将直线ab的方程代入抛物线c的方程得x22pkx2p0，则x1x22pk，x1x22p.(1)由x22py得y，则a，b处的切线斜率的乘积为，点n在以ab为直径的圆上，anbn，1，p2.(2)易得直线an：yy1(xx1)，直线bn：yy2(xx2)，联立，得结合式，解得即n(pk，1)|ab|x2x1|，点n到直线ab的距离d，则abn的面积sabn|ab|d2，当k0时，取等号，abn的面积的最小值为4，24，p2，故抛物线c的方程为x24y.3(2018山西四校联考)如图，圆c与x轴相切于点t(2,0)，与y轴正半轴相交于两点m、n(点m在点n的下方)，且|mn|3.(1)求圆c的方程；(2)过点m任作一条直线与椭圆1相交于两点a、b，连接an、bn，求证：anmbnm.解析：(1)设圆c的半径为r(r0)，依题意，圆心c的坐标为(2，r)|mn|3，r2222，解得r2.圆c的方程为(x2)22.(2)证明：把x0代入方程(x2)22，解得y1或y4，即点m(0,1)、n(0,4)当abx轴时，可知anmbnm0.当ab与x轴不垂直时，可设直线ab的方程为ykx1.联立方程，消去y得，(12k2)x24kx60.设直线ab交椭圆于a(x1，y1)、b(x2，y2)两点，则x1x2，x1x2.kankbn.若kankbn0，则anmbnm.2kx1x23(x1x2)0，anmbnm.4(2018德州模拟)已知c为圆(x1)2y28的圆心，p是圆上的动点，点q在圆的半径cp上，且有点a(1,0)和ap上的点m，满足0，2.(1)当点p在圆上运动时，求点q的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与圆x2y21相切，与(1)中所求点q的轨迹交于不同的两点f，h，o是坐标原点，且时，求k的取值范围解析：(1)由题意知mq是线段ap的垂直平分线，所以|cp|qc|qp|qc|qa|2|ca|2，所以点q的轨迹是以点c，a为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，所以a，c1，b1，故点q的轨迹方程是y21.(2)设直线l：ykxt，f(x1，y1)，h(x2，y2)，直线l与圆x2y21相切1t2k21.联立，得(12k2)x24ktx2t220，16k2t24(12k2)(2t22)8(2k2t21)8