2 稳态热传导

1,第二章稳态热传导,2.1导热基本定律-傅里叶定律2.2导热问题的数学描述2.3典型一维稳态导热问题的分析解2.4通过肋片的导热2.5具有内热源的一维导热问题2.6多维稳态导热的求解,2,本章研究方法：,从连续介质的假设出发、从宏观的角度来讨论导热热流量与物体温度分布及其他影响因素之间的关系。一般情况下，绝大多数固体、液体及气体都可以看作连续介质。但是当分子的平均自由行程与物体的宏观尺寸相比不能忽略时，如压力降低到一定程度的稀薄气体，就不能认为是连续介质。,3,2.1导热的基本概念与基本定律,1.基本概念,（1）温度场定义：在时刻，物体内所有各点的温度分布称为该物体在该时刻的温度场。一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中，温度场可表示为：t=f（x，y，z，）,t为温度;x,y,z为空间坐标;-时间坐标.,4,温度场的分类：,a)随时间划分稳态温度场：物体各点温度不随时间改变。非稳态温度场：温度分布随时间改变。b)随空间划分一维稳态温度场：三维稳态温度场：,5,2.1导热的基本概念与基本定律,（2）等温面与等温线在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或面称为等温线或等温面。,等温面上任何一条线都是等温线。如果用一个平面和一组等温面相交,就会得到一组等温线。温度场可以用一组等温面或等温线表示。,等温面与等温线的特征：（1）同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温线不能相交；（2）在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线）或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于物体的边界，不可能在物体中中断。,6,2.1导热的基本概念与基本定律,（3）温度梯度温度沿某一方向x的变化率在数学上可以用该方向上温度对坐标的偏导数来表示，即：,温度梯度：系统中某一点所在的等温面与相邻等温面之间的温差与其法线间的距离之比的极限为该点的温度梯度，记为gradt。用以反映温度场在空间的变化特征的物理量。,温度梯度是矢量，指向温度增加的方向。,n-等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加方向。,7,2.1导热的基本概念与基本定律,（4）热流密度,热流密度的大小和方向可以用热流密度矢量q表示：,热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。,在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为：,8,2.1导热的基本概念与基本定律,2.导热的基本定律-傅里叶定律,傅里叶定律表明,导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。,对于各向同性材料,各方向上的导热系数相等。,9,傅里叶定律的适应条件：,（1）傅里叶定律只适用于各向同性物体。对于各向异性物体，热流密度矢量的方向不仅与温度梯度有关,还与热导率的方向性有关,因此热流密度矢量与温度梯度不一定在同一条直线上。（2）傅里叶定律适用于工程技术中的一般稳态和非稳态导热问题，对于极低温（接近于0K）的导热问题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程,如大功率、短脉冲(脉冲宽度可达10-1210-15s)激光瞬态加热等,傅里叶定律不再适用。,10,3.导热系数,导热系数反映物质导热能力的大小，绝大多数材料的导热系数值都可以通过实验测得。,11,物质的导热系数在数值上具有下述特点:,(1)对于同一种物质,固态的导热系数值最大,气态的导热系数值最小；(2)一般金属的导热系数大于非金属的热导率；(3)导电性能好的金属,其导热性能也好；(4)纯金属的导热系数大于它的合金；(5)对于各向异性物体,导热系数的数值与方向有关；(6)对于同一种物质,晶体的导热系数要大于非定形态物体的热导率。导热系数数值的影响因素较多,主要取决于物质的种类、物质结构与物理状态,此外温度、密度、湿度等因素对导热系数也有较大的影响。其中温度对导热系数的影响尤为重要。,12,温度对导热系数的影响,纯金属的导热系数随温度的升高而减小；一般合金和非金属的导热系数随温度的升高而增大。,13,保温材料（或称绝热材料）：,国家标准规定，温度低于350时导热系数小于0.12W/(mK)的材料称为保温材料。,多孔材料,绝大多数建筑材料和保温材料（或称绝热材料）都具有多孔或纤维结构(如砖、混凝土、石棉、炉渣等),不是均匀介质,统称多孔材料。,多孔材料的导热系数随温度的升高而增大。多孔材料的导热系数与密度和湿度有关。一般情况下密度和湿度愈大，热导率愈大。,14,2.2导热问题的数学描述,1.导热微分方程,依据：能量守恒和傅里叶定律。,假设：1）物体由各向同性的连续介质组成；2）有内热源，强度为，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位为W/m3。步骤：1）根据物体的形状选择坐标系，选取物体中的微元体作为研究对象；2）根据能量守恒，建立微元体的热平衡方程；,3）根据傅里叶定律和已知条件，对热平衡方程进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。,15,导热过程中微元体的热平衡：,(a),(b),16,对于微元体，按照能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡关系：,导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热=导出微元体的总热流量+微元体热力学能（即内能）的增量,(c),(d),(e),式中：，c，分别表示微元体的密度，比热容和时间；,：单位时间内单位体积中内热源的生成热。,（式1）,三维非稳态导热微分方程的一般形式。,17,导热微分方程的简化：,（1）导热系数为常数,（式2）,称为热扩散率或热扩散系数，其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化快慢，反映了导热过程中材料的导热能力（）与沿途物质储热能力（c）之间的关系.,a值大，即值大或c值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散。热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋于均匀一致的能力，所以a反映导热过程动态特性，研究非稳态导热重要物理量。,在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越小。,18,（2）导热系数为常数，无内热源,热物性参数为常数（常物性）、无内热源的三维非稳态导热微分方程。,（式3）,（3）常物性，稳态,（式4）,（4）常物性，无内热源，稳态,常物性、稳态、三维且有内热源问题的温度场控制方程。,（式5）,拉普拉斯方程。,称为拉普拉斯算子。,泊桑方程,19,圆柱坐标系下的导热微分方程式：,20,球坐标系下的导热微分方程式,21,2.导热微分方程式的定解条件,导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程的具体特点,适用于无穷多个导热过程,也就是说有无穷多个解。,为完整的描写某个具体的导热过程，必须说明导热过程的具体特点,即给出导热微分方程的定解条件（或称单值性条件），使导热微分方程式具有唯一解。,对于稳态导热问题，定解条件中没有初始条件，仅有边界条件；对于非稳态导热问题，定解条件包括初始时刻温度分布的初始条件和导热物体边界上温度或换热情况的边界条件。,导热微分方程式与定解条件一起构成具体导热过程完整的数学描述。,单值性条件一般包括：几何条件、物理条件、时间条件、边界条件。,22,1.几何条件说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决定温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。2.物理条件说明导热物体的物理性质,例如物体有无内热源以及内热源的分布规律，给出热物性参数(、c、a等)的数值及其特点等。3.初始条件（又称时间条件）说明导热过程时间上的特点,是稳态导热还是非稳态导热。对于非稳态导热,应该给出过程开始时物体内部的温度分布规律（称为初始条件）：,23,4.边界条件,说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作用,例如,边界上的温度、热流密度分布以及边界与周围环境之间的热量交换情况等。常见的边界条件分为以下三类:,(1)第一类边界条件给出边界上的温度值、分布及其随时间的变化规律。最简单的例子是规定边界温度保持常数，tw=常量。对于非稳态导热，要求给出：,(2)第二类边界条件给出边界上的热流密度值、分布及其随时间的变化规律。最简单的例子是规定边界温度保持常数，qw=常量。对于非稳态导热，要求给出：,24,(3)第三类边界条件给出了与物体表面进行对流换热的流体的温度tf及表面传热系数h。根据边界面的热平衡，由傅里叶定律和牛顿冷却公式可得:,第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变化率与边界处对流换热之间的关系，也称为对流换热边界条件。,上式描述的第三类边界条件是线性的,所以也称为线性边界条件，反映了导热问题的大部分实际情况。,如果导热物体的边界处除了对流换热还存在与周围环境之间的辐射换热,则。这种对流换热与辐射换热叠加的复合换热边界条件是非线性的边界条件.,本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。,25,综上所述,对一个具体导热过程完整的数学描述（即导热数学模型）应该包括：(1)导热微分方程式;(2)定解条件。对数学模型进行求解,就可以得到物体的温度场,进而根据傅里叶定律就可以确定相应的热流分布。建立合理的数学模型,是求解导热问题的第一步,也是最重要的一步。目前应用最广泛的求解导热问题的方法:(1)分析解法;(2)数值解法;(3)实验方法。这也是求解所有传热学问题的三种基本方法。本章主要介绍导热问题的分析解法。,26,2.3典型一维稳态导热问题的分析解,导热物体的温度仅在一个坐标方向发生变化。,1.通过平壁的稳态导热,平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳为一维稳态导热问题。,从平板的结构可分为单层壁，多层壁和复合壁等类型。,27,（1）单层平壁,当平壁的两表面分别维持均匀恒定的温度时，平壁的导热为一维稳态导热。,表面面积为A、厚度为、为常数、无内热源，两侧表面分别维持均匀恒定的温度t1、t2，且t1t2。选取坐标轴x与壁面垂直,如2-9图。,28,（a）,（b）,对式（a）连续积分两次，得到通解为：,（c）,（d）,（e）,带入边界条件：,导热热阻,带入傅里叶定律：,线性分布,29,例2-1用平底锅烧开水，与水相接触的锅底温度为111，热流密度为42400W/m2.使用一段时间后，锅底结了一层平均厚度为3mm的水垢。假设此时与水相接触的水垢的表面温度及热流密度分别等于原来的值，试计算水垢与金属锅底接触面的温度。水垢的导热系数为1W/(mk).,解：由题意可得：,t2=238.2,30,（2）多层平壁,多层平壁由多层不同材料组成，当两表面分别维持均匀恒定的温度时，其导热也是一维稳态导热。,（1）各层厚度分别为1、2、3，各层材料的导热系数分别为1、2、3,且分别为常数；（2）各层之间接触紧密,相互接触的表面具有相同的温度；（3）平壁两侧外表面分别保持均匀恒定的温度t1、t4。显然，通过此三层平壁的导热为稳态导热,各层的热流量相同。,以三层平壁为例，假设：,31,（f）,三层平壁稳态导热的总导热热阻为各层导热热阻之和。,（g）,依此类推，n层多层壁的计算公式为：,（式6）,32,问：现在已经知道了q，如何计算其中第i层的右侧壁温？,第一层：,第二层：,第i层：,33,解：材料的平均温度为：t=(t1+t2)/2=(500+50)/2=275由附录4查得：,若是多层壁，t2、t3的温度未知：可先假定它们的温度，从而计算出平均温度并查出导热系数值，再计算热流密度及t2、t3的值。若计算值与假设值相差较大，需要用计算结果修正假设值，逐步逼近，这就是迭代法。,34,解：先假定各层的平均温度（即设定t2和t3）；查附录4，代入各种材料的导热系数；进而算出热流密度；由热流密度再验证各层温度的设定值，若误差较大，重新进行以上步骤。-迭代法经过几次迭代，算出三层材料的导热系数分别为：1=1.12W/（mk），2=0.116W/（mk），3=0.116W/（mk）代入式：,粘土砖,硅藻土,石棉板,W/m2,t2=470,35,例3：一双层玻璃窗，高2m，宽1m，玻璃厚3mm，玻璃的导热系数为0.5W/(mK)，双层玻璃间的空气夹层厚度为5mm，夹层中的空气完全静止，空气的导热系数为0.025W/(mK)。如果测得冬季室内外玻璃表面温度分别为15和5，试求玻璃窗的散热损失，并比较玻璃与空气夹层的导热热阻。解：这是一个三层平壁的稳态导热问题。根据(式6)散热损失为：,可见，单层玻璃的导热热阻为0.003K/W，而空气夹层的导热热阻为0.1K/W，是玻璃的33.3倍。,36,2.通过圆筒壁的导热,主要讨论圆筒壁稳态导热过程中的壁内温度分布及导热热流量。,（1）单层圆筒壁的稳态导热,假设：内、外半径分别为r1、r2，长度为l，为常数、无内热源，内外壁温度t1、t2均匀恒定。,按上述条件，壁内温度只沿径向变化，如果采用圆柱坐标,则圆筒壁内的导热为一维稳态导热，导热微分方程与相应边界条件为：,积分得：,代入边界条件,可得：,37,代入得：,圆筒壁内的温度分布为对数曲线。,（式7）,（式8）,38,圆筒壁内温度分布曲线的形状？,39,对（式7）求导数可得：,（式7）,根据傅里叶定律，沿圆筒壁r方向的热流密度为：,（式9）,（式8）,（式10）,长度为l的圆筒壁的导热热阻,40,（2）多层圆筒壁的稳态导热,由不同材料构成的多层圆筒壁。如带有保温层的热力管道、嵌套的金属管道和结垢、积灰的输送管道等。,以三层圆筒壁为例，无内热源，各层的热导率1、2、3分别为常数，内、外壁面维持均匀恒定的温度t1、t2。通过各层圆筒壁的热流量相等，总导热热阻等于各层导热热阻之和。,n层圆筒壁：,单位管长的热流量,41,例2-4温度为120的空气从导热系数为1=18W/(mK)的不锈钢管内流过，表面传热系数为h1=65W/(m2K),管内径为d1=25mm，厚度为4mm。管子外表面处于温度为15的环境中，外表面自然对流的表面传热系数为h2=6.5W/(m2K)。(1)求每米长管道的热损失；(2)为了将热损失降低80%，在管道外壁覆盖导热系数为0.04W/(mK)的保温材料，求保温层厚度；(3)若要将热损失降低90%，求保温层厚度。,解：这是一个含有圆管导热的传热过程，光管时的总热阻为：,(1)每米长管道的热损失为：,42,(2)设覆盖保温材料后的半径为r3，由所给条件和热阻的概念有：,由以上方程解得r3=0.123m故保温层厚度为12316.5=106.5mm。,43,(3)若要将热损失降低90%，按上面方法可得r3=1.07m这时所需的保温层厚度为1.070.0165=1.05m由此可见，热损失将低到一定程度后，若要再提高保温效果，将会使保温层厚度大大增加。,44,3.通过球壳的导热,对于内、外表面维持均匀恒定温度的空心球壁的导热，在球坐标系中也是一个一维导热问题。,温度分布：,热流密度：,热流量：,热阻：,45,4.变截面或变导热系数的一维问题求解导热问题的主要途径分两步：求解导热微分方程，获得温度场；根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量；,对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此方法对一维变物性、变传热面积非常有效。由傅里叶定律：,分离变量：（由于是稳态问题，与x无关）,46,当随温度呈线性分布时，即0(1bt)时,47,2.4通过肋片的导热,肋片：是指依附于基础表面上的扩展表面。又称翅片。可以有效地增加换热面积。,48,几种常见的肋片形状：,加装肋片的目的：强化传热。根据牛顿冷却公式：,增大对流换热量有三条途径：1.加装肋片，增加换热面积A；2.加大对流换热表面传热系数h；3.加大换热温差(twtf)。,49,1.通过等截面直肋的导热,以矩形肋为例:高度为H、厚度为、宽度为l，与高度方向垂直的横截面积为Ac,横截面的周长为P。,假设（物理模型）：1）肋片材料热导率为常数；2）肋片根部与肋基接触良好，温度一致；3）肋片厚度方向的导热热阻/与表面的对流换热热阻1/h相比很小，可以忽略,肋片温度只沿高度方向发生变化,肋片导热可以近似地认为是一维的；4）肋片表面各处对流换热系数h都相同；5）忽略肋片端面的散热量，认为肋端面是绝热的。,50,数学描述：,导热微分方程可简化为：,（式a）,（式b）,边界条件：,表面的总散热量：,（式c）,微元体积：,内热源强度：,（式d）,51,将（式d）代入（式a）：,（式e）,称为过余温度,（式f）,边界条件：,二阶线性齐次常微分方程，其通解为：,（式g）,52,（式11）,双曲余弦函数：,令x=H，ch0=1，则（式11）变为：,将代入傅立叶定律得：,53,2.肋效率与肋面总效率,（1）肋片效率定义：肋片的实际散热量与假设整个肋片都具有肋基温度时的理想散热量之比。,可见，肋片效率是mH的函数。,直肋：,环肋：,54,矩形和三角形肋片效率随mH的变化规律如图。,mH愈大，肋片效率愈低。,（1）肋片材料的热导率，（2）肋片高度H，（3）肋片厚度，（4）肋片与周围流体间对流换热的表面传热系数h，,肋片效率的影响因素：,55,56,变截面肋片：,在一定散热量条件下，什么几何形状肋的材料消耗量最少？,理论分析证明，在一定散热量的条件下，具有凹抛物线剖面的肋片最省材料。工程上常采用工艺简单、性能接近凹抛物线型肋片的三角肋或者梯形肋。,57