第4章-系统运动稳定性.ppt

上海交通大学自动化系,第4章系统运动稳定性,一个实际系统正常工作的前提是系统必须是稳定的，因此系统的稳定性是控制系统分析的重要方面。线性系统的数学描述有外部描述和内部描述两种，相应地，线性系统的稳定性也有外部稳定性和内部稳定性两类，前者是系统的输入输出稳定性，后者是平衡状态稳定性。外部稳定性和内部稳定性有区别，但也存在一定的联系。,上海交通大学自动化系,线性系统的外部稳定性和内部稳定性介绍Lyapunov稳定性概念线性系统外部稳定性和内部稳定性的关系线性系统稳定性的特征值判据和Lyapunov判别方法,本章的目的,上海交通大学自动化系,线性系统的外部稳定性主要是有界输入有界输出稳定性，简称为BIBO稳定性。定义考虑线性松弛的系统，如果由一个有界输入所产生的输出也是有界的，即则称系统是BIBO稳定的。,4.1线性系统的外部稳定性,上海交通大学自动化系,注：BIBO稳定性必须假定系统是松弛的，因为系统的输入输出描述是在此假定下才有意义。系统的输入输出描述有脉冲响应函数和传递函数两种稳定性判据也有相应的两种形式。,上海交通大学自动化系,单变量线性系统的BIBO稳定性脉冲响应函数判据定理线性系统的输入输出描述则系统是BIBO稳定的充分必要条件是其中，M是一个有限常数。,上海交通大学自动化系,证明：充分性：显然，系统的输出是有界的。必要性：用反证法。假设存在某个时刻，使取输入,上海交通大学自动化系,显然u（t）是有界的，但是输出是无界的，所以系统不是BIBO稳定的。推论对线性定常系统可取，则其BIBO稳定的充分必要条件是,上海交通大学自动化系,传递函数判据定理如果单变量线性定常系统的传递函数是正则(或严格正则)有理函数，则其BIBO稳定的充分必要条件为：的所有极点都具有负实部。证明：若是正则有理函数，是其重极点，则通过部分分式展开后，必定包含因子,上海交通大学自动化系,它们的拉氏反变换，或系统的单位脉冲响应响应地包含有下列因子上列因子绝对可积的充分必要条件是具有负实部，即系统是BIBO稳定的多变量线性系统的BIBO稳定性类似于SISO的情况（略）,上海交通大学自动化系,推广形式:线性定常系统的状态空间描述则系统的传递函数阵为显然，的每一个极点都是A的特征值。所以如果A的所有特征值具有负实部，则的所有极点必定具有负实部，即系统必是BIBO稳定的。但这只是充分条件，而不是必要条件。,上海交通大学自动化系,例设系统的状态空间描述为A的特征值为-1与2.5，不全为负实部。而其传递函数为的一个极点2.5与零点对消，剩下一个负实极点-1，所以系统是BIBO稳定的。,上海交通大学自动化系,4.2系统的内部稳定性,系统的内部稳定性则是指系统零输入响应的稳定性。Lyapunov稳定性理论的发展史1892年Lyapunov提出了稳定性分析的两种方法：线性化方法和直接法线性化方法的特点：在平衡点线性化的系统的稳定性非线性系统在平衡点附近的局部稳定性直接方法的特点：通过构造一能量型的函数和研究它的时间变化特性来研究非线性系统的稳定性,上海交通大学自动化系,基本概念：非线性系统和平衡点,非线性系统其中：f是n1的非线性向量函数，x是n1的状态向量。状态向量的一个特定的值称为点。状态的个数n叫做系统的阶。虽然（4.1）不显含控制输入，但它也可以应用于反馈控制系统。（大家想一想：为什么？）,上海交通大学自动化系,自治和非自治系统,对于线性系统非线性系统的特例,分类：时变和时不变（定常）,定义如果（4.1）中的f不显含时间t，即（4.1）可以写成则就说该系统是一自治系统（理想化的概念），否则是非自治系统。,上海交通大学自动化系,注意：上述定义是对于闭环系统而言的。对于由控制器和控制对象组成的控制系统，其非自治性可能源于控制对象或控制器随时间的变化。例如，对于一简单的控制对象：如果选择控制器是非线性和时变的（)则该控制系统是非线性且是非自治的。,上海交通大学自动化系,自治和非自治系统间的区别,自治系统的状态轨迹与初始时间无关，而非自治系统则不然。在讨论非自治系统的稳定性时需要显含初始时间。使得分析非常困难在下面我们假定控制对象都是自治系统,上海交通大学自动化系,平衡状态,平衡状态的定义X（t）一旦等于x*，之后系统将永远停留在该状态x*，则该状态x*叫做系统的平衡状态。显然对于线性时不变系统，如果A非奇异，只有一个平衡状态；如果A奇异，则有无穷个，但它们不是分割的。（大家想一想：的平衡状态？）,上海交通大学自动化系,对于非线性系统，平衡点有何特点呢？,平衡状态：,这些平衡点是分割的,上海交通大学自动化系,在线性系统的分析和设计中，为了便于分析和简化记号，假定平衡点都是什么呢？状态空间的原点。对于非线性系统，如果给定一特定的平衡点x*，同样可以进行变换：可以证明（4.2）和（4.3）的解一一对应。,研究（4.2）在平衡点x*附近的行为的问题研究（4.3）在原点附近的行为的问题。,上海交通大学自动化系,公称运动假定x*（t）是系统（4.2）对应于初始状态x*（0）x0的公称运动轨迹，假定受扰的初始状态x（0）x0+x0现在的问题是研究如何变化？,上海交通大学自动化系,研究（4.4）的平衡点0的稳定性的问题,注意：（4.4）是一非自治系统,上海交通大学自动化系,例4.1考虑下面的质量弹簧系统现在的问题是确定初始位置为x0时运动x*（t）的稳定性解：扰动初始位置x0为x0+x0则关于运动误差的等价微分方程为显然，它是一非自治系统。注：对于线性系统而言，其等价系统仍是自治的。,上海交通大学自动化系,4.2Lyapunov稳定性的概念定义：如果对于任意的R0，存在r0使得当时，对于所有的t0都有则平衡状态x0是稳定的，反之则是不稳定的。,上海交通大学自动化系,几何解释,上海交通大学自动化系,例4.2判断下述系统的稳定性,上海交通大学自动化系,图4.2VanderPol振荡器的不稳定原点,上海交通大学自动化系,渐近稳定性和指数稳定性定义：如果平衡点0稳定，并且存在某个正数r使得隐含着当t时，x（t）0，则称它渐近稳定。,思考：稳定的条件是否需要？答案是：需要，为什么？,上海交通大学自动化系,A稳定,B渐近稳定,C不稳定,上海交通大学自动化系,稳定,不稳定,渐近稳定,曲面无摩擦,曲面有摩擦,上海交通大学自动化系,稳定,不稳定,渐近稳定,曲面无摩擦,曲面有摩擦,若偏移一点,上海交通大学自动化系,稳定,不稳定,渐近稳定,曲面无摩擦,曲面有摩擦,上海交通大学自动化系,稳定,不稳定,渐近稳定,曲面无摩擦,曲面有摩擦,若偏移一下,上海交通大学自动化系,稳定,不稳定,渐近稳定,曲面无摩擦,曲面有摩擦,上海交通大学自动化系,稳定,不稳定,渐近稳定,曲面无摩擦,曲面有摩擦,若偏移一下,上海交通大学自动化系,稳定,不稳定,渐近稳定,曲面无摩擦,曲面有摩擦,上海交通大学自动化系,稳定,不稳定,渐近稳定,曲面无摩擦,曲面有摩擦,若偏移一下,上海交通大学自动化系,稳定,不稳定,渐近稳定,曲面无摩擦,曲面有摩擦,上海交通大学自动化系,渐近稳定平衡点附近的运动轨迹,上海交通大学自动化系,平衡点的吸引域起始于其内的轨迹最终都收敛于原点的所有点的集合工程上，有时还要求尽快回到平衡点0指数稳定的定义如果存在两个严格的正数和，使得在原点的某个领域Br上，有则称平衡点0是指数稳定的。,上海交通大学自动化系,含义：指数稳定的系统的状态向量收敛到原点的速度比指数函数还快。,指数稳定,渐近稳定,指数稳定和渐近稳定之间的关系,渐近稳定,指数稳定,？,答案：No。渐近稳定并不能保证指数稳定,利用指数稳定性可以给出任意时刻状态的界,上海交通大学自动化系,局部和全局稳定性的概念如果对于状态空间上的任意初始状态，都是渐近稳定（指数稳定），则称原点是全局渐近稳定（指数稳定）,线性时不变系统要么是渐近稳定的，临界稳定，不稳定，而渐近稳定也总是指数稳定和全局稳定的。（自动控制原理中没有细分的原因）,上海交通大学自动化系,4.3线性化和局部稳定性,Lyapunov线性化关心的是非线性系统的局部稳定性。直觉：非线性系统的局部的运动特性应该类似于其线性化近似。它就是将这种直觉理论化。Lyapunov线性化理论为对实际系统，应用线性控制进行稳定设计提供了理论依据。应用线性控制进行稳定设计能保证原物理系统的局部稳定性。,上海交通大学自动化系,假定f（x）是连续可微的，,非线性系统的线性化方法,原非线性系统在原点的线性化或线性近似,上海交通大学自动化系,对于控制输入为u的非自治系统如果f（0，0）0，则有：,上海交通大学自动化系,例4.3确定下述系统在原点的线性化近似,解：易于验证原点是该系统的平衡点，在该点的雅克比矩阵为:,线性化系统,上海交通大学自动化系,线性化系统的稳定性和原非线性系统稳定性之间的关系定理4.1（Lyapunov线性化方法）如果线性化系统是严格稳定的，那么平衡点是渐近稳定的（原非线性系统）；如果线性化系统是不稳定的，那么平衡点是不稳定的（原非线性系统）；如果线性化系统是临界稳定的，那么由线性近似得不到有关原非线性系统的任何结果。,上海交通大学自动化系,例4.4判断下述倒立摆的两个平衡点的稳定性,平衡状态：,上海交通大学自动化系,平衡点的情况线性化系统：容易看出当b0时，该线性化系统严格稳定，因此由定理4.1原非线性系统在该平衡点渐近稳定。,上海交通大学自动化系,平衡点的情况线性化系统：容易看出当b0时，该线性化系统不稳定，因此由定理4.1原非线性系统在该平衡点不稳定。,上海交通大学自动化系,例4.4确定下述系统的平衡点和在原点平衡点的稳定性。,解：求系统的平衡点：由f（x）0有平衡点为：,显然，当时，该系统只有一个平衡点x0。,上海交通大学自动化系,在x0处的线性化系统为：常数a取值不同，该线性化系统的稳定性也不同：a0：不稳定a=0：无法确定,Lyapunov线性化方法：,上海交通大学自动化系,4.4Lyapunov直接方法基本思想：如果一个物理系统的总能量是连续消散的，那么该系统的状态最终会回到平衡点。,先看一个非线性质量阻尼弹簧系统：,动态方程：,上海交通大学自动化系,现在的问题：拉小车一段距离后释放，其后的运动是否稳定？,目前，可利用的判定方法：根据定义和Lyapunov线性化方法。对于该系统，这两种方法都不能应用。为什么呢？第一种：要求知道一般解第二种：局部结论，或者线性化系统临界稳定,上海交通大学自动化系,该机械系统的总能量：,机械能量和稳定性概念之间的关系：,零能量对应于平衡点原点渐近稳定性意味着机械能收敛到0不稳定性与能量的增加有关,上海交通大学自动化系,结论：标量值（机械能）间接反映了状态向量的大小，因此，系统的稳定性可以由系统的机械能的变化来表征。,在运动过程中能量的变化率,起始于任意初始状态的系统的能量直到前都是连续消散的。进一步，它必定停留在弹簧的自然长度处。,Lyapunov直接方法就是上述思想对一般复杂系统的推广。,上海交通大学自动化系,4.4.1正定函数和Lyapunov函数上述能量函数有两个性质：（1）它是严格正值，当且仅当状态向量为0时才为0；（2）单调减小。上述性质在这里用正定函数和Lyapunov函数来描述。,正定函数的定义:,如果一标量函数V（x）满足下述条件：（1）V（0）0；（2）则说它是局部正定函数。,上海交通大学自动化系,如果将上面的换成整个状态空间，其性质仍然成立，我们就说它是全局正定函数。,例如倒立摆的机械能为：,是局部正定的；而上述非线性质量阻尼弹簧系统的机械能是全局正定的。注意：动能本身不是正定的。,上述定义中，隐含着原点为函数V的唯一最小点。,上海交通大学自动化系,正定函数的集合意义：,V,0,0.45,0.63,0.77,C=0.89,0,0.5,-1,-0.5,1,0.5,-1,-0.5,1,正定函数的典型形状,正定函数的等高线表示,上海交通大学自动化系,类似地，正半定，负定，负半定,如果V（x）可微，,它也称为V沿系统运动轨迹的导数,Lyapunov函数的定义：,如果函数V（x）满足下述条件:（1）在球上，它是正定的；（2）具有连续偏导数；（3）沿任一运动轨迹的其时间导数是负半定的。则称V（x）为该系统的Lyapunov函数。,上海交通大学自动化系,x1,x2,1,-1,1,-1,0.5,上海交通大学自动化系,4.4.2平衡点定理,Lyapunov局部稳定性定理定理4.2如果在一球上，如果存在一标量函数V（x），具有连续偏导数，且V（x）正定为负半定则平衡点0是稳定的；如果球上是局部负定的，则平衡点0是渐近稳定的。,上海交通大学自动化系,证明：使用Lyapunov函数的几何解释来证明（以n2的情况为例）,(a),(b),上海交通大学自动化系,证明稳定性,根据定义证明：对于任意的正数R，存在一个严格正数r，使得起始于球内的任一轨迹始终保持在球内。,令m是V在球面上的最小值，由于V连续且正定，所以m一定存在且严格正；又由于V（0）0，所以，由V（x）的连续性，在原点的领域存在一个球，满足,上海交通大学自动化系,由定理负半定的条件，可知，V将保持严格小于m，因此其轨迹不可能穿出球面综上，结论得证。,下面考虑负定的情况：（反证法）起始于某个球内的轨迹将保持在内。由于V是下有界且连续减小，那么V趋向于极限L，即现假定:那么由V（0）0和V的连续性，在原点的领域存在一个球，轨迹将不会进入该球,上海交通大学自动化系,另一方面，由于连续正定且有界，所以，一定大于某个严格正数L1。这意味着V将在有限时间V0-LL1内从初值V0减小到小于L的某个值。这与假设矛盾。于是渐近稳定性的结论得证。,应用上述定理对非线性系统进行分析的步骤：构造Lyapunov函数V（x）确定V沿着系统轨迹的导数问题：如何构造Lyapunov函数V（x）？,上海交通大学自动化系,例4.4倒立摆系统原点的稳定性（局部稳定性）,考虑下述标量函数：,可以验证它是局部正定函数。,那么由上述定理可知：该系统的原点是稳定的。,上海交通大学自动化系,例4.5判断下述系统的原点平衡点的渐近稳定性,首先构造一正定函数如下：,V沿着系统轨迹的导数,在球内局部负定，因此，由定理可知：该系统的原点平衡点局部渐近稳定。,上海交通大学自动化系,全局稳定性的Lyapunov定理有时系统的工作范围比较大，仅仅进行局部稳定性分析是不够的，需要判断全局稳定性。你可能会想：将上述定理中的替换成整个状态空间，局部正定换成全局就行了。但结论是：仅做这种替换是不够的。还需对V附加条件：V（x）径向无界。,上海交通大学自动化系,定理4.3（全局稳定性）,假定存在一个标量函数V具有连续的一阶导数且满足下列条件：,V（x）正定负定,则平衡点原点是全局渐近稳定的。证明：与前面的定理相同。,上海交通大学自动化系,附加径向无界条件的原因：径向无界可以保证其等高线是封闭的。,上海交通大学自动化系,例4.6判断系统原点的全局渐近稳定性。其中可以构造Lyapunov函数候选：V是无界的，其导数为：,由定理4.3可知：原点全局渐近稳定。,思考题：判断下述系统的平衡点原点的全局稳定性（a）（b）,上海交通大学自动化系,说明：对于同一个系统，可能存在多个Lyapunov函数；如：如果V是某系统的Lyapunov函数，则也是Lyapunov函数。其中，如果Lyapunov函数选择得好，可以给出比较精确的结果：如对于倒立摆的例子而言，选择函数,上海交通大学自动化系,作为Lyapunov函数候选，则在原点的邻域局部有,因此原点渐近稳定,Lyapunov分析中的所有定理都是充分的。即：对于一个特定的Lyapunov函数候选，如果不满足的条件，这时，并不能得出有关系统稳定性的任何结论。,上海交通大学自动化系,4.4.3不变集定理,一方面，对于大多数系统都要求渐近稳定性而在很多情况下仅是负半定的。如果这时应用前面的定理只能得到稳定的结果。但是这时有的系统实际是渐近稳定的。问题是：如何进一步给出有关渐近稳定性的结论,LaSalle不变集定理就是其工具之一。,上海交通大学自动化系,不变集：它是平衡点概念的推广,不变集的定义：如果起始于集合G内任一点的系统的每条轨迹都始终保持在该集合G内，则称集合G为该系统的一个不变集。,平衡点是一个不变集，平衡点的吸引域也是一个不变集。最平凡的不变集是什么？状态空间中系统的轨迹是否是一不变集？为什么？,上海交通大学自动化系,定理4.4（局部不变集定理）,考虑自治系统其中，f连续，V是一具有一阶连续偏导数的标量函数。假定,对于某个l0，由所定义的区域有界对于中的所有x，,令R是内使得的所有点的集合，而M是R上的最大不变集。则起始于的每条轨迹x(t)当t时，趋向于M。,上海交通大学自动化系,注：定理中的最大是指所有不变集的并,该定理的几何意义,V,上海交通大学自动化系,上述定理的证明要用到拓扑学和实分析中的许多概念，这里我们略去证明。重点是如何应用它。,例4.7,动态方程：,上海交通大学自动化系,应用不变集定理可以判定原点实际上是渐近稳定的。为此，我们需要证明不变集M仅含原点集合R是相平面上的水平轴。假定M含有位置不为0的点，那么，在该点处，其加速度这表示系统的轨迹会立即离开集合R，因此离开集合M。与不变集的定义矛盾。,上海交通大学自动化系,推论,考虑自治系统其中，f连续，V是一具有一阶连续偏导数的标量函数。假定在原点的某个邻域上,V（x）局部正定负半定令R是使得的所有点的集合，它不包含系统的任何轨迹（原点除外）,则原点渐近稳定。,上海交通大学自动化系,定理4.5（全局不变集定理）,考虑自治系统其中，f连续，V是一具有一阶连续偏导数的标量函数。假定,*在整个状态空间上，当,令R是使得的所有点的集合，而M是R上的最大不变集。则系统的每条轨迹x(t)当t时，全局渐近地收敛于于M。,上海交通大学自动化系,动态方程：,例4.8一类2阶非线性系统,其中，b和c是连续函数，且分别满足下列符号条件：,它可以描述：具有非线性阻尼和弹簧的质量阻尼弹簧系统；非线性RLC电路,上海交通大学自动化系,令R是使得即的所有点的集合，由于意味着所以R上的不变集M仅包含原点。所以由局部不变集定理，原点是局部渐近稳定的。进一步，如果则原点是全局渐近稳定的。,上海交通大学自动化系,4.5基于Lyapunov直接方法的系统分析,前面我们已经得到了若干定理，现在你一定会认为利用这些工具对实际的非线性控制系统的分析将非常容易前提：Lyapunov函数已知对一个复杂的非线性控制系统进行分析的难点：对于一个特定的问题如何构造Lyapunov函数经验、直觉、物理理解,上海交通大学自动化系,4.5.1线性时不变系统的Lyapunov分析,（数学准备）,对称、斜对称、正定矩阵,如果则称方阵M是对称的；如果则称方阵M是斜对称的。,事实：,*任一方阵可以表示为一对称矩阵和一斜对称矩阵的和：,对称,斜对称,上海交通大学自动化系,*与斜对称矩阵有关的二次型函数总是为0。即，如果M为一斜对称矩阵，则有,利用这一点：我们在讨论二次型函数时，可以假定M是对称的，而不失一般性。,如果则称方阵M为正定阵。,上海交通大学自动化系,事实,（）正定（）的所有特征值为正（）所有的主子行列式为正上述三条等价。,上海交通大学自动化系,线性时不变系统的Lyapunov函数,对于该系统，可以考虑下述Lyapunov函数候选,其中，P是对称正定阵,其中，,Lyapunov方程,上海交通大学自动化系,现在的问题：确定Q是否是正定的？我们知道：定理4.4仅仅是充分的，这种自然的方法有时会得不到结论。如对于稳定的系统，但Q不是正定的。,为此，看下面的例子：,如果取,显然，Q不是正定的，因此得不到任何结论,上海交通大学自动化系,定理4.