函数的极值与导数 课件

1.3.2函数的极值与导数,f(x)在(-，-4),(2，)内单调递增，,求导数求临界点列表写出单调性,+,+,-,f(x)0(x+4)(x-2)0 x2,f(x)在(-4，2)内单调递减.,f(x)0(x+4)(x-2)0-4x0,单调递减h(t)0,h(a)0,2.跳水运动员在最高处附近的情况：,(1)当t=a时运动员距水面高度最大，h(t)在此点的导数是多少呢？,(2)当ta时h(t)的单调性是怎样的呢？,将最高点附近放大,t=a,ta,导数的符号有什么变化规律？,在t=a附近，h(t)先增后减，h(t)先正后负，h(t)连续变化，于是有h(a)=0,f(a)最大.,那么下面图象的最高点h（a）代表什么意义呢？这就是本节课研究的重点函数的极值,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,1.探索并应用函数极值与导数的关系求函数极值.（重点）2.利用导数信息判断函数极值的情况.（难点）,探究点函数的极值与导数,思考(1).函数y=f(x)的极大值或者极小值唯一吗？(2).函数y=f(x)的极大值是函数的最大值吗？(3).函数y=f(x)的极小值一定比极大值小吗？能举例说明吗？,1.极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。,2.函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。,定义的理解,3.极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值。,求可导函数f(x)极值的步骤：,(2)求导数f(x)；,(3)求方程f(x)=0的根；,(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格,检查f(x)在方程根左右的符号如果左正右负（+-），那么f(x)在这个根处取得极大值；,如果左负右正（-+），那么f(x)在这个根处取得极小值；,(1)确定函数的定义域；,总结提升,例:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.,解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得或,当a=-3,b=3时,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.,当a=4,b=-11时,从而所求的解为a=4,b=-11.,1时,此时x=1是极值点.,变式练习：已知函数f(x)=-x3+ax2+b，若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值.,解:由，得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,a=6.,由于当x0时,故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.,1.下面说法正确的是.A.可导函数必有极值B.可导函数在极值点的导数一定等于零C.函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）D.函数的极小值（或极大值）不会多于一个,B,注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质.因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值.,2.函数y=f(x)的导数y与函数值和极值之间的关系为()A.导数y由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B.导数y由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C.导数y由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D.导数y由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值,D,函数在时有极值10，则a，b的值为（）A.或B.或C.D.以上都不对,C,3.,解:由题设条件得：,解之得,通过验证，a=3,b=3时，不合题意.,注意：f(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件.,注意代入检验,.,(2),注意数形结合,极值定义要把握：2个关键可导函数y=f(x)在极值点处的f(x)=0.极值点左右两边的导数必须异号.3个步骤确定定义域,