函数的最大（小）值与导数

3.2.1函数的最大（小）值与导数,高二数学选修2-2第三章导数及其应用,3016年3月18日星期五,1.理解函数最值的概念2.掌握利用导数求函数最值的方法3.掌握利用导数求最值的步骤.,1.求函数在a，b上的最值(重点)2.函数的极值与最值的区别与联系(易混点)3.利用函数的单调性，图象等综合考查(难点),温故知新,如果在x0附近的左侧f/（x）0,右侧f/(x)0,那么,f(x0)是极大值;,3.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值存在的充要条件是在该点处的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号.,4.求函数极值的步骤：,1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,2.函数的极值点不是点，是导数为零时对应的x0,如果在x0附近的左侧f/(x)0,那么,f(x0)是极小值.,左正右负取极大,左负右正取极小,求导求极值点列表求极值,在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题。,函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？,新课引入,极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。,新课函数的最值,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f（x）在区间a，b上的最大值、最小值吗？,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,知识回顾,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,1最大值:,（1）对于任意的xI，都有f(x)M;（2）存在x0I，使得f(x0)=M,那么，称M是函数y=f(x)的最大值,2最小值:,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,（1）对于任意的xI，都有f(x)M;（2）存在x0I，使得f(x0)=M,那么，称M是函数y=f(x)的最小值,观察下列图形,你能找出函数的最值吗？,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.,在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,例题选讲,例1求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.,解:,令,解得x=-1,0,1.,当x变化时,的变化情况如下表:,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,想一想：为什么函数的最值点有两个？,(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：,(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；,讲授新课,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).,练习1函数y=x+3x9x在4,4上的最大值为,最小值为.,分析:由f(x)=3x+6x9=0,区间4,4端点处的函数值为f(4)=20,f(4)=76,得x1=3，x2=1,函数值为f(3)=27,f(1)=5,76,-5,当x变化时，y、y的变化情况如下表：,比较以上各函数值，可知函数在4,4上的最大值为f(4)=76，最小值为f(1)=5,1、求出所有导数为0的点；,2、计算函数的极值和端点值；,3、比较确定最值.,求函数最值三部曲：,反思：本题属于逆向探究题型：其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。,拓展提高,1、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？如下图：,不一定,2、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。,3、如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。,有两个极值点时，函数有无最值情况不定。,动手试试,课时小结,1.求在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的最值的步骤:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,2.求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)要正确区分极值与最值这两个概念.,(2)在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未必有最大值与最小值.,(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)、f(b)放在一起比较.,布置作业1、课本P69习题32A组第1,2题和步步高40分钟课时训练P117第7题2、步步高40分钟课时训练,4、函数y=x3-3x2，在2，4上的最大值为（)(A)-4(B)0(C)16(D)20,C,1.求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内的极值与最值,故函数f(x)在区间1，5内的极小值为3，最大值为11，最小值为2,解法二:,f(x)=2x-4,令f(x)=0，即2x-4=0，,得x=2,-,+,3,11,2,选做题：,解法一:将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理,2、,解,令,解得,x,0,(0,),(,),+,-,+,0,0,(,),0,应用,(2009年天津（文）21T),答:（1）斜