机械振动教学课件

1-1,机械动力学,第二章振动分析基础,第二章振动分析基础,21概述振动分析的研究思路：,一动力学模型任何实际的振动系统是无限复杂的,为了便于分析,要作简化,在简化的基础上建立动力学模型模型由三种理想化元件组成：质量m阻尼c弹性k系统简化的程度取决于考虑问题的复杂程度、计算精度、计算条件实际结构两种简化处理方式：对实际结构质量、刚度、阻尼线性化处理对其分布规律作离散化处理动力学模型采用的正确与否要由实践检验动力学模型分三类：a集中参数模型(常微分方程)b有限元模型(常微分方程)c连续弹性体模型(偏微分方程),1-18,1弹性元件：只有弹性,无惯性、阻尼(理想化元件)弹簧所受外力Fx是位移x的函数：Fx=f(x)在线性范围内Fx=kx(对弹簧的线性化处理)通常假定弹簧没有质量若：弹簧质量相对小,可忽略弹簧质量相对较大,一定要处理,实际工程结构中许多构件在一定范围内所受作用力与变形是线性关系,可作线性弹性元件处理.例图示悬臂梁根据材力P与变形的关系杆长E材料弹性模量I抗弯截面惯性矩设则P=k因此悬臂梁相当一个刚度为的线性弹簧,1-19,角振动系统：弹簧为扭转弹簧M=kM外力矩转角k刚度扭振系统G轴材料剪切模量J轴截面极惯性矩M扭矩因此扭转刚度：从能量角度：不消耗能量,以势能方式贮存能量.等效刚度：复杂弹性元件组合形式,可用等效弹簧取代等效弹簧的刚度用等效刚度表示(等于组合弹簧的刚度),并联弹簧：比各组成弹簧”硬”共位移串联弹簧：比各组成弹簧”软”共力确定弹性元件组合方式是”并联”还是”串联”关键看是”共位移”还是”共力”,1-20,见下例：例1a.两弹簧共位移(x)并联b.两弹簧共力(Fs)串联例2确定阶梯轴的等效扭转刚度解共力矩M，为串联由扭振,2阻尼元件:只有阻尼无惯性,弹性(理想元件)振动系统的阻尼特性及模型是振动分析最困难问题之一,也是最活跃的研究方向之一阻尼力是振动速度的函数对线性阻尼器C:阻尼系数阻尼元件消耗能量以热能声能等方式耗散系统的机械能角振动系统:有以上类似关系为阻尼力矩,1-21,例1(a)(b),例2,非粘性阻尼:与速度成正比的阻尼为粘性(Viscous)阻尼,又称线性阻尼其它性质的阻尼统称非粘性阻尼工程中将非粘性阻尼折算成等效粘性阻尼系数Ceq折算原则:一个振动周期内非粘性阻尼所消耗的能量等于等效粘性阻尼一周期所消耗的能量非粘性阻尼种类：a.库仑(Coulemb)阻尼即干磨擦阻尼b.流体阻尼:物体以较大速度在粘性很小的流体(空气液体)中运动.阻尼力与速度平方成正比:c.结构阻尼：材料内磨擦产生的阻尼(又称材料阻尼)由结构各部件连接面之间相对滑移而产生的阻尼:滑移阻尼结构阻尼=材料阻尼+滑移阻尼(两项统称)3.质量元件只有惯性无弹性和阻尼的理想元件.(略),1-22,.二.动力学模型的建立举例说明:南京工学院(东南大学)为无锡机床厂外园磨床作振动分析:,1-23,22单自由度系统,一.自由振动自由振动的基本振动特性只决定系统本身的参数,因此是在理论上十分重要的一种振动形式.系统自由振动所表现出的一些规律能反映出系统本身的一些”固有特性”或”固有参数”.反映了系统内部结构的所有信息,是研究强迫振动的基础.,单自由度自由振动概述当外界对系统没有持续的激励即F(t)=0但系统仍可以在初速度或初位移的作用下发生振动,称为自由振动其运动微分方程为:,二阶常系数齐次微分方程,方程还可其中（衰减系数）（固有频率）方程特征方程通解其中:,为特征方程的二个特征根,为积分常数,由初始条件定,1-24,系统的运动情况随(衰减系数)不同值,分五种情况：(1)=0(无阻尼情况),0(正阻尼情况)(2)(弱阻尼情况)(3)(强阻尼情况)(4)=(临界阻尼情况),(5)0(负阻尼情况)首先从无阻尼情况(最简单)介绍,2.无阻尼系统的自由振动运动方程为（C=0,F(t)=0）或式中其通解:x(t)=Asin(t+)是系统自由振动的角频率,也称为系统无阻尼固有频率单位:Hz或1/sA振动幅值初相角(由初始条件确定),1-25,若记初始位移初始速度则因当t=0时得分析：单自由度无阻尼系统的自由振动是正弦或余弦函数,可用谐波函数表示,故称简谐振动,自由振动的角频率即为仅由系统本身参数确定,与外界激励,初始条件均无关.反映了系统内在的特征.自由振动的振幅A和初相角由初始条件确定无阻尼自由振动是等幅振动研究无阻尼自由振动时,常用到“能量法”,1-26,3.能量法：,(1)用能量的观点研究振动有时很方便.例只需计算系统固有频率时,可避免写微分方程,直接得结果.(也可用能量法写系统微分方程)在无阻尼又无外作用力时,系统的动量T和势能U是守恒的.即T+U=恒量(2-1)对上式时间取一次导数：（2-2）式中:T为系统中运动质量所具有的动能U为系统的弹性势能或重力势能由(2-1)式,有：任意选两个瞬时位置1和2机械能总和应相等对简谐振动：通常选质量块经过平衡位置为第一瞬时位置,此时速度最大,动能此时再选质量块达最大位移时为第二瞬时位置,此时速度为0,而势能（2-3）利用(2-3)式可直接得系统固有频率,1-27,例如图测量低频振幅用的传感器中的一个元件无,定向摆的示意图,摆轮2上铰接一摇杆1,摇杆另一端有敏感质量M，在摇杆离转轴0距离为a处左右各联一刚度为k的平衡弹簧,以保持摆的垂直方向的稳定位置.已知系统对0的转动惯量为解：以摇杆偏离平衡位置的角位移为参数并设:则摇杆通过静平衡位置时系统动能最大在摇杆摆到最大角位移处时系统最大势能包括两部分:,弹性变形后储存的弹性势能:质量块m的重心下降后重力势能:由于得:,1-28,（2）能量法求系统振动微分方程例图示一半径为r,重量为w的园柱体在一个半径为R的园柱面内作无滑动的滚动,在园柱面最低位置0点左右微摆动.推导园柱体摆动的微分方程.,解:园柱体有两种运动:园柱体质心的线位移(Rr),线速度为园柱体绕质心转动,因无滑动,角速度为(以A点为瞬心)在任一瞬时位置,园柱体的动能为:为园柱体的质量，为园柱体绕质点轴的转动惯量园柱体的势能为相对最低点O的重力势能，在同一瞬时园柱体质心升高了,故按（2-2）式,对于微幅摆动:上式可简化为:,1-29,（3）用能量法计算弹簧的等效质量,用能量法原理，可把弹簧的分布质量对系统振动频率的影响加以估计.得频率准确值。下面介绍用等效质量进行折算的一种近似方法。先假定弹簧各截面的位移与其距固定端处的原始距离成正比。设弹簧在联结质量块的一端位移为X，弹簧轴向长为L,则距固定端处，位移为，因此，当质量块m在某一瞬时的速度为时,弹簧在处的微段d,相对速度为。设为弹簧单位长度的质量，则弹簧d段的动能为整个弹簧的动能为:（整个弹簧质量）系统总动能为质量块m的动能和弹簧质量的动能之和，在质量块经过静平衡位置时,系统最大动能为:,系统的势能仍与忽略弹簧质量时一样:,由对简谐振动:得:,=,代入:,称为系统等效质量.,1-30,4有阻尼系统的自由振动图示系统的运动方程:前面已述:特征方程:通解:其中:,（1）弱阻尼状态为虚数,令方程通解:若为方程的复解,数学上可证明,它的实部和虚部也是方程的解,由欧拉公式；=,实部:虚部:均为方程解,且是线性无关解.由此,方程的通解为:,1-31,同时:当初始条件t=0时,代入得:解得:,分析:由于有阻尼,振幅随时间衰减有阻尼,系统振动周期略有增大可通过振幅衰减曲线求阻尼大小值(对数减缩),1-32,（2）强阻尼状态，是非周期性