第4章-信号与系统-拉普拉斯变换.ppt

信号与系统,4.1拉普拉斯变换,信号与系统2020/6/14,以傅立叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义，但也有不足之处，傅立叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；另外在求时域响应时运用傅立叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。,引言,信号与系统2020/6/14,为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。优点：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。,引言,信号与系统2020/6/14,一拉普拉斯变换的定义,则,1.从傅立叶变换到拉普拉斯变换,信号f(t)乘以衰减因子(为任意实数)后容易满足绝对可积条件，依傅氏变换定义：,令，具有频率的量纲，称为复频率,信号与系统2020/6/14,2拉氏逆变换,对于是的傅立叶逆变换,两边同乘以,其中；若取常数，则,积分限：对对,所以,一拉普拉斯变换的定义,信号与系统2020/6/14,3拉氏变换对,正变换,反变换,记作，称为原函数，称为象函数,采用系统，相应的单边拉氏变换为,考虑到实际信号都是有起因信号,所以,一拉普拉斯变换的定义,信号与系统2020/6/14,二拉氏变换的收敛域,收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件：,信号与系统2020/6/14,说明：,6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。,1.满足的信号称为指数阶信号；,2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；,3.,4.,5.等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标，为非指数阶信号，无法进行拉氏变换；,二拉氏变换的收敛域,信号与系统2020/6/14,三一些常用函数的拉氏变换,1.阶跃函数,2.指数函数,全s域平面收敛,3.单位冲激信号,收敛域,信号与系统2020/6/14,4幂函数tnu(t),三一些常用函数的拉氏变换,信号与系统2020/6/14,5正余弦信号,收敛域,收敛域,三一些常用函数的拉氏变换,信号与系统2020/6/14,6衰减的正余弦信号,收敛域,收敛域,三一些常用函数的拉氏变换,信号与系统2020/6/14,4.2拉普拉斯变换的基本性质,信号与系统2020/6/14,一线性性,解：,例：,说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。,信号与系统2020/6/14,二延时（时域平移）,证明：,若则,信号与系统2020/6/14,二延时（时域平移）,注意：(1)一定是的形式的信号才能用时移性质(2)信号一定是右移(3)表达式等所表示的信号不能用时移性质,信号与系统2020/6/14,因为,所以,解：,二延时（时域平移）,信号与系统2020/6/14,解：4种信号的波形如图,例：,二延时（时域平移）,信号与系统2020/6/14,只有信号可以用延时性质,二延时（时域平移）,信号与系统2020/6/14,二延时（时域平移）,时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。,结论：单边周期信号的拉普拉斯变换等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以,例：周期冲击序列的拉氏变换为,信号与系统2020/6/14,例:,解：,解：,例,二延时（时域平移）,信号与系统2020/6/14,三尺度变换,时移和尺度变换都有:,证明：,若则,信号与系统2020/6/14,四s域平移,证明：,若则,例：求的拉氏变换,解：,信号与系统2020/6/14,五时域微分定理,推广：,证明：,若则,信号与系统2020/6/14,六时域积分定理,证明：,若则,因为第一项与t无关，是一个常数,信号与系统2020/6/14,例：求图示信号的拉普拉斯变换,求导得,所以,解：,六时域积分定理,信号与系统2020/6/14,七s域微分定理,若则取正整数,证明：对拉普拉斯正变换定义式求导得,即得证。,信号与系统2020/6/14,七s域微分定理,例,解：因为,所以,信号与系统2020/6/14,八s域积分定理,两边对s积分：,交换积分次序:,证明：,若则,信号与系统2020/6/14,九初值定理和终值定理,终值存在的条件:,若的拉氏变换存在，且则,初值定理,的所有极点有负实部,终值定理,证明,证明,初值存在的条件:当t0时，f(t)=0，且f(t)不包含冲激信号及其各阶导数项,信号与系统2020/6/14,由时域微分定理可知,所以,返回,九初值定理和终值定理,初值定理证明：,所以,信号与系统2020/6/14,终值定理证明,根据初值定理证明时得到的公式,九初值定理和终值定理,返回,信号与系统2020/6/14,例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值,初值,终值,初值,终值,注意应用终值定理的条件是满足的。,解：,九初值定理和终值定理,信号与系统2020/6/14,初值,因为有两重极点，并不具有负实部，因此不能应用终值定理，即的终值不存在,九初值定理和终值定理,例：,解：,即单位阶跃信号的初始值为1。,信号与系统2020/6/14,十时域卷积,若为有始信号则,证明：,交换积分次序,信号与系统2020/6/14,4.3拉普拉斯逆变换,信号与系统2020/6/14,一部分分式展开法,ai,bi为实数，m,n为正整数。,分解,零点,极点,通常F(s)具有如下的有理分式形式：,当是真分式,是的根，称为的零点,是的根，称为的极点,信号与系统2020/6/14,拉氏逆变换的过程,一部分分式展开法,找出F(s)的极点,将F(s)展开成部分分式,查拉氏变换表求f(t),信号与系统2020/6/14,一部分分式展开法(mn),1.单阶实数极点,为不同的实数根,求出即可将F(s)展开成部分分式,信号与系统2020/6/14,(1)找极点,(2)展成部分分式,(3)逆变换,求系数,例：求的拉氏逆变换,信号与系统2020/6/14,一部分分式展开法(mn),2.极点为共轭复数,其中为单实根，为共轭复根，各个系数的求法和单实根一样，是共轭复数。,信号与系统2020/6/14,例：求的逆变换,解：,实单根的系数求法同前面一样，这样有,可以用公分母的方法，或是设定两个特殊的S值来求系数A和B，比如设得到,一部分分式展开法(mn),信号与系统2020/6/14,用配方法求共轭复根部分的拉普拉斯反变换，即,所以有：,用配方法避免了复数运算，过程相对比较简单,一部分分式展开法(mn),信号与系统2020/6/14,3.有重根存在,一部分分式展开法(mn),对于非重根，系数的求法和前面一样，对于重根则需用求导的方法求系数,信号与系统2020/6/14,解：展成部分分式,例：求拉氏反变换,一部分分式展开法(mn),信号与系统2020/6/14,所以有,所以,一部分分式展开法(mn),信号与系统2020/6/14,F(s)两种特殊情况,非真分式化为真分式多项式,用时移性质,一部分分式展开法(mn),信号与系统2020/6/14,二留数定理法,拉普拉斯反变换式,一阶极点的留数,k阶极点的留数,信号与系统2020/6/14,4.4连续时间LTI系统的复频域分析,信号与系统2020/6/14,用拉氏变换法分析电路的步骤,列s域方程（可以从两方面入手）,列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。,求解s域方程,得到时域解答,信号与系统2020/6/14,一微分方程的拉氏变换,我们采用0-系统求解系统微分方程，只要知道起始状态，不需要求0-到0的跳变问题。,用拉普拉斯变换法求解微分方程，主要利用拉普拉斯变换的微分性质即,信号与系统2020/6/14,一微分方程的拉氏变换,一般情况下微分方程为,如果x(t)是因果信号，对应的拉普拉斯变换为,即,是仅由系统的起始条件产生的零输入响应是仅由激励产生的零状态响应,信号与系统2020/6/14,一微分方程的拉氏变换,（1）求完全响应，对上式进行拉普拉斯变换，得,例:求系统的零状态响应和零输入响应,解：,代入起始条件,得完全响应为,信号与系统2020/6/14,一微分方程的拉氏变换,（2）求零输入响应，,代入起始条件,得零输入响应为,信号与系统2020/6/14,一微分方程的拉氏变换,（3）求零状态响应，,得,得零状态响应为,可以验证,信号与系统2020/6/14,4.4连续时间系统的复频域分析,时域关系,复频域关系,元件的S域模型,1.电阻元件,二基于s域模型的电路分析,信号与系统2020/6/14,2.电容元件,电容的初始储能为零时,二基于s域模型的电路分析,复频域阻抗,信号与系统2020/6/14,3.电感元件,电感初始储能为零时,二基于s域模型的电路分析,复频域阻抗,信号与系统2020/6/14,线性定常电路中两类约束关系的复频域形式：,KCL,KVL,二基于s域模型的电路分析,信号与系统2020/6/14,例:已知如图所示各电路原已达稳态，t=0时开关K换接，试画出电路的s域模型。,二基于s域模型的电路分析,信号与系统2020/6/14,解：(a)开关K换接前电路已在直流稳态，所以容易求得,画出电路S域模型为,二基于s域模型的电路分析,信号与系统2020/6/14,(b)直流稳态时，电感短路，电容开路，所以有,画出电路S域模型为,二基于s域模型的电路分析,信号与系统2020/6/14,(c)直流稳态时，电感短路，电容开路，所以有,画出电路s域模型为,二基于s域模型的电路分析,信号与系统2020/6/14,4.5连续时间LTI系统的系统函数,信号与系统2020/6/14,1.定义,一系统函数,所以,其中,当时，系统的零状态响应,则,响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比,信号与系统2020/6/14,二.系统函数的求解,利用网络的s域元件模型图，列s域方程,微分方程两端取拉氏变换,系统函数的求解方法:,信号与系统2020/6/14,例：已知描述系统的微分方程如下，求系统函数和系统的冲激响应。,解：直接写出系统函数为,二系统函数的求解,进行拉普拉斯反变换，得到系统的冲激响应为,信号与系统2020/6/14,解：直接由分压、分流公式可以得到,例：电路如图，响应分别为，求对应的系统函数,二系统函数的求解,信号与系统2020/6/14,三.系统函数的应用,求系统的响应：,即,方法一：,方法二：,信号与系统2020/6/14,解：根据系统函数的定义容易求得系统函数为,例:设信号加到如图所示电路中，设电容上的起始电压为零，求电容电压,激励信号的拉普拉斯变换为,所以有,三.系统函数的应用,即,信号与系统2020/6/14,1.系统零极点的概念,四零极点与系统时域响应的关系,对系统函数分子分母多项式进行因式分解得,是系统零点,是系统极点,在复平面上，零点用“o”表示，极点用“”表示，标出系统的零极点的位置，称为系统的零极点图,信号与系统2020/6/14,几种典型情况,四零极点与系统时域响应的关系,信号与系统2020/6/14,解：对应系统的幅频特性为,五零极点与系统频率响应的关系,信号与系统2020/6/14,五零极点与系统频率响应的关系,信号与系统2020/6/14,五零极点与系统频率响应的关系,信号与系统2020/6/14,4.6系统方框图和信号流图,信号与系统2020/6/14,一系统方框图,一个系统的方框图可由许多子系统的框图作适当联接组成。子系统的基本联接方式有级联、并联和反馈三种。,（1）级联,等效系统函数为,（2）并联,等效系统函数为,信号与系统2020/6/14,一系统方框图,（3）反馈,等效系统函数为,对于负反馈，总有,信号与系统2020/6/14,二信号流图,系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方向，一般称为支路，所以每一条支路相当于乘法器。,信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系，而且可以有不同方向输出。,信号与系统2020/6/14,三Mason公式,节点:表示系统中的变量或信号的点称为节点。支路:连接两节点间的有向线段称为支路。支路增益就是两节点间的增益。输入节点（源点）:仅有输出支路的节点，一般为系统的输入。输出节点（阱点）:仅有输入支路的节点，一般为系统的输出。混合节点:既有输入支路又有输出支路的节点。,信号与系统2020/6/14,通路:从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过各相连支路到达另一节点的路径称为通路。前向通路:从输入节点到输出节点的通路。前向通路中通过任何节点不多于一次。开通路:如果通路与任一节点相遇不多于一次，则称为开通路。闭通路:如果通路的终点就是通路的起点，而且与其余节点相遇不多于一次，则称为闭通路、回路、环路或简称为环。不接触环路:环路之间没有公共节点。,三Mason公式,信号与系统2020/6/14,三Mason公式,Mason公式为,其中,从输入节点到输出节点之间的系统函数,特征式,从输入节点到输出节点的第k条前向通路增益,在中，将与第k条前向通路相接触的回路所在项去掉后余下的部分,所有不同回路增益之和,所有两两互不接触回路增益乘积之和,所有三个互不接触回路增益乘积之和,信号与系统2020/6/14,三Mason公式,例：用Mason公式求图所示系统的系统函数,解：先求环路，一共有4个环路，即,其中L1、L2，L1、L3是两两不接触的回路，没有三三不接触的回路。,信号与系统2020/6/14,三Mason公式,所以流图的特征式为,前向通路只有一条，即所有回路都和这条前向通路接触，所以,信号与系统2020/6/14,三Mason公式,系统函数为,信号与系统2020/6/14,三Mason公式,例：用Mason公式求图所示系统的系统函数,解：先求环路，一共有4个环路，即,其中L1、L4是两两不接触的回路,信号与系统2020/6/14,三Mason公式,可以求得流图的特征式,三条前向通路之(1),三条前向通路之(2),信号与系统2020/6/14,三Mason公式,三条前向通路之(3),所以系统函数为,信号与系统2020/6/14,四系统模拟,系统模拟指用一些标准的部件通过一定的连接方式实现同样的系统函数。对于连续时间动态LTI系统的模拟，通常由加法器、标量乘法器和积分器三种部件构成。系统模拟可以理解为就是用这三种部件画出系统的信号流图或是系统的方框图，使得流图或方框图实现了同样的系统函数。,信号与系统2020/6/14,四系统模拟,例：用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描述的系统,解：首先考虑下面的系统,由线性时不变系统的性质知道存在下面关系,信号与系统2020/6/14,四系统模拟,方程两边积分三次得到,说明是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。,信号与系统2020/6/14,四系统模拟,第一个积分器的输入信号实际是,可以画出部分系统框图,信号与系统2020/6/14,四系统模拟,可以画出完整的系统框图,信号与系统2020/6/14,四系统模拟,对应的信号流图为,其中表示积分器（拉普拉斯变换的性质）,信号与系统2020/6/14,4.7连续时间LTI系统的稳定性,信号与系统2020/6/14,一系统稳定性的定义,系统稳定:定义为任何有界的输入将引起有界的输出，简称BIBO稳定（BoundedInputBoundedOutput）,连续时间LTI系统为因果系统的充要条件为,连续时间、因果LTI系统稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即,信号与系统2020/6/14,一系统稳定性的定义,必要性：构造一有界激励，可以验证，若冲激响应绝对可积的条件不满足，则响应无界。,充分性：设激励x(t)有界，即，容易验证响应也有界，即,信号与系统2020/6/14,一系统稳定性的定义,（1）当H(s)的所有极点全部位于平面的左半平面，不包含虚轴，则系统是稳定的。,（2）当H(s)在平面虚轴上有一阶极点，其余所有极点全部位于平面的左半平面，则系统是临界稳定的。,（3）当H(s)含有右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上的极点时，系统是不稳定的。,由系统函数的极点分布可以判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性,信号与系统2020/6/14,二系统稳定性的判断,（3）三阶系统必须满足条件且系统才是稳定的,（1）一阶系统，显然只要参数满足即为稳定。为临界稳定。,（2）二阶系统只要参数满足即为稳定。或属于为临界稳定。,假设系统函数分母多项式的最高项系数为1,三阶以下系统稳定的判定,信号与系统2020/6/14,二系统稳定性的判断,例：设系统方框图如图所示，求（1）系统函数H(s)（2）系统稳定，参数K满足的条件,解：由Mason公式可以很容易求得系统函数为,信号与系统2020/6/14,二系统稳定性的