天体运动中的向心加速度与重力加速度

天体运动中的向心加速度与重力加速度钦州市第二中学 吴展红在学习了天体运动之后，很多同学认为重力加速度就与向心加速度是一回事，即向心加速度就等于重力加速度，重力就等于向心力，从而出错。其实不然，下我们从力与运动的关系来分析这个问题。万有引力定律：是物体间相互作用的一条定律，1687年为牛顿所发现。任何物体之间都有相互吸引力，这个力的大小与各个物体的质量成正比例，而与它们之间的距离的平方成反比。如果用M、m表示两个物体的质量，r表示它们间的距离，则物体间相互吸引力为F= GMm/r2，G称为万有引力常数，其值约为6.6710 -11单位 N /kg 2。为英国物理学家、化学家亨利卡文迪许通过扭秤实验测得。万有引力定律的发现和提出，使我们认识到自然界中存在的一种基本作用，更重要的是把其应用于天体的运动以及航天技术的研究当中，从而开创了人类探索宇宙奥妙的新纪元。万有引力与航天这章内容比较晦涩难懂，公式比较多学生容易混淆，万有引力公式与圆周运动公式相结合，得出一系列的公式。如何能在繁杂的公式中找出其中的奥秘，关键还是要搞清楚万有引力与航天的规律。欲解决此类问题，现归纳以下几条依据：在地球上的物体：（1）考虑地球的自转：重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力。重力实际上是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力。如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F也不断变化，因而地球表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化。其中G为万有引力常量，M为地球的质量，m为地面物体的质量，R为地球半径，r为随着纬度的变化物体距离轴线的长度。（万有引力向量=重力向量+向心力向量） GMm/R2 =mg+ mw2r因为同一个物体的W相等，随着纬度的增加r越来越小，但是万有引力GMm/R2不变，mg越来越大即：随着纬度的增加，重力加速度g越来越大。因此在南北极重力加速度最大，在赤道附近最小。向心加速度：GMm/R2 =mg+ ma g a=w2r =mg+ mw2r =(2/T)2r =mg+ m(2/T)2r = V2/r =mg+ mV2/r 重力加速度向心加速度 相关公式的推导：GMm/R2 =mg+ mV2/r 或 GMm/R2 =mg+ m(2/T)2r（2）忽略地球的自转：在赤道处R=r，物体的万有引力分解的两个分力f向和mg刚好在一条直线上, 则有F=mg+f向，所以，mg=F-f向=GMm/R2-mw2R因地球自转角速度很小， GMm/R2mw2R所以GMm/R2mg，(一般情况下不考虑自转带来的影响，认为重力等于万有引力，只有在南北极时物体不随地球自转GMm/R2 =mg)“GM=gR2”通常称为黄金代换式，在解题时经常用到。假设地球自转加快，即mg=GMm/R2-mw2R知物体的重力将变小.当GMm/R2 =mw2R时，mg=0此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度w=GM/R3，比现在地球自转角速度要大得多。地球附近的近地卫星：通常把高度在500千米以下的航天器轨道称为低轨道，500千米2000千米高的轨道称为中轨道。中、低轨道合称为近地轨道（又称顺行轨道）。近地卫星是指轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径（这一点很重要）即：近地卫星：转动半径(R+h)地球半径RGMm/（R+h）2 = ma GMm/R2 = ma = mw2(R+h) = mw2R = mV2/(R+h) = mV2/R = m(2/T)2(R+h) = m(2/T)2R（1）轨道半径(R+h)R；运行速度=7.9kms，是所有卫星的最大绕行速度； （2）运行的周期为T=85min，是所有卫星最小周期； （3）向心加速度a=g9.8ms2，是所有卫星的最大加速度。（4）向心加速度a=g=w2R=V2/R=(2/T)2R=GM/R2 角速度 周期 重力加速度=向心加速度人造卫星在离地面的高空中运行，它处于一种完全失重状态，其重力，则重力加速度。但卫星受到了它与地球之间的万有引力，此完全来提供卫星绕地球做圆周运动所需的向心力。由公式得到卫星做圆周运动的向心加速度，方向指向地球的球心。现在我们设想一下，如果某一时刻，卫星的速度为零，那么想一下，此时的卫星具有的加速度是多少？假如卫星的环绕速度变为零，但它受到的万有引力不变，仍然与它绕地球做圆周运动时受到的万有引力一样，只不过。此时的万有引力扮演的角色发生了改变，卫星做圆周运动时，完全用来向心力，而当时，全部用来提供卫星的重力，所以卫星的重力加速度，方向与同向，即指向球心。也可以从另外途径来证明此结果。当卫星的环绕速度为零时，它受到的重力： （1）又因为在地球表面，我们可以得到： （2）从以上（1）（2）两式，得到 （3）在上文中，我们已得到，代入（3）式，得：，方向指向球心。由此得到同样的结果。根据以上的分析，对于同一颗卫星，在同一位置的两种不同状态下，其向心加速度和重力加速度是一样的，不但大小一样，而且方向也一样。地球远地卫星： 距离地球比较远，距离地球的高度不可以忽略，卫星距离地心r=R+H GMm/（R+ H）2 = ma GMm/r2 = ma = mw2(R+ H) = mw2r = mV2/(R+ H) = mV2/r = m(2/T)2(R+ H) = m(2/T)2r向心加速度a= w2r 周期=V2/r 角速度=(2/T)2r= GM/r2地球同步卫星：即地球同步轨道卫星，又称对地静止卫星，是运行在地球同步轨道上的人造卫星。所谓同步轨道卫星，是指：卫星距离地球的高度约为h=36000 km，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为位于地球赤道平面上圆形轨道、运行周期与地球自转一周的时间相等，即23时56分4秒，卫星在轨道上的绕行速度约为3.1公里/秒，等于地球自转的角速度。在地球同步轨道上布设3颗通讯卫星，即可实现除两极外的全球通讯。（1） 线速度；（2）