04相似三角形1教师版初二自招进度一

第第 04 讲讲 相似三角形（相似三角形（1） 【知识点】 1. 相似的定义 相似形：形状相同的两个图形 相似三角形： 三个角对应相等、 三边对应成比例的两个三角形 两个三角形相似， 用符号“” 表示符号“”读作“相似于” 2. 相似三角形性质性质 相似三角形的对应角相等、对应边成比例两个相似三角形对应边的比，叫做这两个三角形 的相似比，一般用 k 表示当1k 时，这两个相似三角形为全等三角形可见全等三角形 是相似三角形的特例 3. 相似的传递性 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似 4. 相似三角形的判定 1) 两角对应相等，两个三角形相似 2) 两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似 3) 三边对应成比例，两个三角形相似 5. 直角三角形相似特有的判定方法 斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似 6. 射影定理 已知：如图，在 RtABC 中，90BAC，ADBC 于 D， 那么： （1）ABBD BC 2 ； （2）ACCD CB 2 ； （3）ADDB DC 2 证明步骤： （1）证ABDCBA （2）同理证：ACDBCA （3）证ADBCDA A BCD 【例题精讲】 【例题【例题1】如图，ABC ADE ，若ADEB，则C_； DE BC _ _ 【例题【例题2】如图，在ABC 中，D 是 AC 上一点，ABD=C，AB=10，AD=8，BC=15， 求证：ABDACB；求证：AB2=AD AC；求 BD、CD 的长 解： （1）在ABD 和ACB 中 AA ABDC ABDACB （2）ABD ACB ADAB ABAC 即 2 ABAD AC （3）ABD ACB ADABBD ABACBC 即 810 = 1015 BD AC 12.5AC，12BD 4.5CD E D CB A 【例题【例题3】如图，ABC 是等边三角形，P 是边 BC 上任意一点（不与点 B、C 重合） ，联结 AP，线段 AP 的垂直平分线交 AB、AC 于点 E、F，联结 PE、PF. 求证： （1）EBPPCF； （2）BE CFBP PC 证： （1）EF垂直平分AP ,EAEP FAFP 又EFEF EFAEFP EPFEAF 在等边ABC 中 0 60BACBC EPFB 又12EPFB 12 又BC EBPPCF （2）EBP PCF BEBP CPCF 即BE CFBP PC 【例题【例题4】如图，在ABC 中，AB=AC，A 是钝角，EAF=B，求证： 2 ABBF CE 证：EAFB 11EAFB 又12B 2BAF ABAC BC 在ABF 和ECA 中 2 BC BAF ABFECA ABBF CEAC AB ACBF CE ACAB 2 ABBF CE CB A EF 【例题【例题5】如图，ABBD，CDBD，AB=6，CD=16，BD=20，一动点 P 从 B 向 D 运动， 问当 P 离 B 多远时，PAB 与PCD 是相似三角形？试求出所有符合条件的 P 点的位置 解：,ABBD CDBDBD 设,20BPxPDx则则 当 ABBPABBP PDCDCDPD 或或时时 PAB 与PCD 相似， 66 20161620 (8)(12)01160 60 8,12, 11 60 8,12, 11 xx xx xxx x PBPABPCD 或或 或或 当当时时 【例题【例题6】如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，点 F 在 CD 上，且 1 4 CFCD ，联 结 AE、EF、AF 求证： （1）ABEECF； （2）ABEAEF 证：设 1 14 4 CFCFCDCD E是BC的中点 1 2 2 BEECBC 在正方形490ABCDABCDBC 中中， 22 ABBE ECCF ， 在ABEECF和和中中， BC ABBE ECCF ABEECF 【例题【例题7】如图，在ABC 中，高 BD 与 CE 相交于点 H，联结 DE （1） 求证：ADEABC； （2） 若A=60 ，BC=6cm，求 DE 的长 （3） 图中共有几对相似三角形？ 证： （1）,BDAC CEAB 90ADBAEC ADBAEC在在和和中中 AA ADBAEC ADBAEC ADABADAE AEACABAC 即即 ADEABC AA ADAE ABAC 在在和和中中 ADEABC （2）ADEABC ,60 11 262 3cm DEAE BCAC CEABA AEDE AC DE （3）共 8 对 BEHBDACDHCEA ADEABC，DHECHB H E D CB A 【例题【例题8】已知：如图，ABC 和ADE 有公共顶点 A， ABBCAC ADDEAE ， 求证：ABAC=BDCE 证：在ABCADE和和中中 12 ABBCAC ABCADE ADDEAE BACDAE 在 1=2 : ABDACE ABDACE ABAC ADAE AB ACBD CE 和和中中 【例题【例题9】如图， 平行四边形ABCD中，5AD ，3AB ，DCFADB ，CF交BD 于点E，交AD于点F，若2.5CF ，则BE的长为； 【例题【例题10】已知：ABC 中，90BAC，ADBC 于,D E为AC中点，ED的延长 线交AB的延长线于F，求证： 2 FDFB AF；AB AFAC DF； 【例题【例题11】如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AEBC 于 E，AFCD 于 F求证：EAF ABC 证：,AEBC AFCD 1290 ABCDBD ABEADF 在在平平行行四四边边形形中中， ABAEABAD ADAFAEAF ABBC ADBC AEAF AB190CDBAF 390 3+90 EAF B EAFB 又又 EAFB EAFABC ABBC AEAF EAFABC 在在和和中中， 【例题【例题12】已知：如图，在ABC 中，BAC=90 ，ADBC 于点 D，ABE 与ACF 是等 边三角形 求证：EBDFAD；求证：DEFABC （1）证：901590BAC 2590ADBC 12 ABEACF和和是是等等腰腰三三角角形形 3= 4=60, 1324 BEBA ACAF EBDFAD ， 即即 1=2 90 ADBCDA ADCBDA ADBCDA 在在和和中中 ABDBEBDB CADAAFDA EBDFAD EBDFAD EBDB AFDA 在在和和中中 EBDFAD （2）证：EBDFAD 67, 687890 90 , FDFA EDEB EDFBAC FAAC EBAB FDACFDFD EDABACAB 即即 DEFABC EDFBAC FDED ACAB DEFABC 在在和和中中 【例题【例题13】如图，M、N 分别为正方形 ABCD 的边 AB、BC 上一点，BM=BN，BGMC 于 G 求证：BNGCDG 证：在正方形ABCD中 90ABCDCBBCCD， 490BGMCBGC 13231590 35,12 4 53 BGCMGC BGC BCCG BGCMGB BMBG 在在和和中中 ,BCCD BMBN CDCG BNBG 1= 2 BNG CDG CDCG BNBG 在在中中 BNGCDG 【课后作业】 【作业1】如图，ABC 中，BDAC 于D，CEAB 于E，DGBC 于G，交CE 于F，交BA的延长线于H， (1)求证： 2 DGBG CG;(2)求证： 2 GDGF GH； 【作业2】已知：如图，平行四边形 ABCD 中，DBC=45 ，DEBC 于 E，BFCD 于 F， DE、 BF 相交于 H， BF、 AD 的延长线相交于 G (1)证明：BEHDEC;(2)求证： AB2=GA HE 证：(1)1+290CC 12 39045 34 DBC DBEBDE DEBE BEHDEC BHCDAB ， 又又 ABCD，BFCD 901ABGG ， 2 3 1 (2) ABGHEB ABG G ABGHEB ABAG HEHB ABAG HBAB HEAB ABGA HE 在在和和中中 G H F E D CB A 【备用题】 1. 相似三角形的几种类型 2. 如图 1-11 所示， 在ABC中，90A ， 分别以AB、AC为边向外作正方形ABCD、 ACFG.设CD交AB于点N，BF交AC于点M，求证：AMAN. 证明：因为四边形ABDE、ACFG都是正方形，90BAC，所以CFAB，AC BD，ABBD，ACCF. 所 以CFMABM， 可 得 CFCM ABAM ， 即 AMCM ABCF ， 由 合 比 性 质 得 AMAMCMAC ABABCFABCF ， 同 理 ANAC