07 简单的数论问题22015寒假 初二数学自招进度一班教师

第七讲 简单的数论问题（2）【质数与合数】1. 质数有无穷多个2. 2是最小的质数，也是唯一的偶质数3. 唯一分解定理：每一个大于1的正整数n都可以唯一地（除了因数顺序不同之外）分解为质因数之积，就是可以表示成：的形式，其中为不同的质数，为正整数4. （3）中的正整数n的不同的正约数个数为【整数的整除性】1. 若，且，则或；2. 若，则；3. 若，m为整数，则；4. 若，则；5. 若，且a与c互质，则特别地，若质数，则必有或；若，则；6. 若，且b与c互质，则【质数与合数】【例题1】 求所出有的三位数，满足、和都是质数解：首先、只能取2、3、5、7，且、不能是2、5若或5，则或73但237、273、537、573均为3的倍数故只能为373或737但，从而只有373【例题2】 已知、是质数，且，求的值解：由、是质数，所以、中有一个是2不妨设，从而，由此所以【例题3】 求出使、都是质数的所有质数证明：当（是正整数）时，是合数，不符合要求当时，是合数，不符合要求从而，又为质数，所以【例题4】 已知是不小于5的质数，也是质数，求证：是合数证明：质数，因此或，是正整数若，则是合数，与已知矛盾，所以从而是合数【例题5】 （1）求2160的正约数的个数；（2） 求不大于200的恰有15个正约数的所有正整数解：（1），所以2160共有正约数（个）；（2）因为，所以或但，舍去；而，只有，即【例题6】 已知是大于1的正整数，求证：是合数证明：因为，所以，所以为合数【例题7】 已知质数、满足，求的值解：显然、中必有一个为5，不妨设，则，即，易得或从而【例题8】 1.， 解：，且，可得【例题9】 200以内能同时被3、4、5整除的正整数共有 3 个解：由于3、4、5两两互质，同时被3、4、5整除的整数必被整除，而能被60整除的数也能被3、4、5整除200以内能被60整除的正整数共3个【例题10】 一个三位正整数的百位上是4，十位上和个位上的数字相同，且这个数能被9整除，这个数是 477 解：能被9整除的数，各位数字和能被9整除设个位和十位上的数字为且是9的倍数，则【例题11】 所有能被7整除的两位正整数的和是 728 解：【例题12】 有三个连续的两位正整数，它们的和也是两位数并是11的倍数，这三个数的积最大为 35904 解：设三个连续两位正整数为、，之和为是3的倍数，且又是11的倍数，所以是33的倍数两位数中最大的33的倍数是99，即这三个正整数为32、33、34，之积为35904【例题13】 一个六位数是88的倍数，这个数除以88所得的商是 2620或2711 解：由于，所以这个六位数能被8和11整除能被8整除，则后三位56能被8整除，所以这个位上是0或8；能被11整除，则奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除，所以千位数字对应为0或8商则对应为2620或2711【例题14】 能被11整除，各位数字各等于13的最小正整数是 319 解：能被11整除的数奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除，两位数能被11整除，则数字和不可能为13，所以至少为3位数奇数位之和比偶数位大11（否则之和为偶数），所以十位数是1，百位加个位之和为12，则百位最小为3，对应个位是9【例题15】 一个两位正整数，它的两个数字之和能被4整除而且比这个两位数大1的数，它的两个数字这各也能被4整除，所有这样的两位数有 2 个解：两位数加1后，若不发生进位，则数字和也增加1，则原来两位数字和与加1后数字和不可能同时被4整除，所以原两位数的个位为9由于两个数字和能被4整除，故十位数字为3或是7所以共有2个这样两位数【例题16】 求证：形如的六位数字一定被7、11、13整除解：设，则，故，【例题17】 已知、为整数，求证：解：因为，所以或，或，又，所以，或，所以总有而，所以1. 已知自然数使得是质数，求这个质数证明：，它是一个质数，只有，即，得或22. 已知是质数，也是质数，求的值解：如果，那么或，所以或为合数不符合已知条件，从而只能有或如果，那么是合数、与已知矛盾，所以如果，那么是质数，所以只能为3从而3. 能同时被2、3、5整除的最小四位正整数是 1020 解：同第1题，能同时被2、3、5整除约数就是30的倍数，30的最小四位倍数是10204. 360能同时被 24 个不同的正整数整除解：，能整除360的所有正整数就是360的所有约数，360的约数的个数为（个）5. （1）在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别都能被2、3、5、11整除，这个七位数的最小值是 1992210 （2）在1992后面补两位数，使这个新的六位数能被105整除，那么它需补上的两位数是 90 1. 已知、都是质数，求它们的平方和证明：由、都是质数，所以为奇数又，所以不能写成与的形式，否则，为合数，所以，从而，所求平方和为2. 不能写成两个奇合数之和的最大偶数是多少？解：小于38的奇合数为9、15、21、25、27、33、35，它们中任何两个之和都不等于38大于38的偶数可表示为、，当时，可表示为两奇合数之和当时，是两奇合数之和；当时，是两奇合数之和所以应为383. 不能用三个不同的倒数之和表示的最大奇数是多少？解：最小的三个合数4、6、8之和为18，于是17是不能用三个不同合数之和表示的奇数若奇数，则而是不小于3的整数所以所求奇数为174. 求证：对任意自然数，是合数证明：我们对进行分类：(1) 为偶数时，考虑模3(2) 时，考虑模3，即它是13的倍数（3） 时，考虑模5，即它是5的倍数5. 数字是一个903位数，中间漏写了一个数字，若这个数能被7整除，那么漏写的数字是 6 解：由于111111能被7整除，则能被7整除，等价于能被7整除所以仅当中间是6时满足条