10高斯函数2教师版初一竞赛进度一

1 第第 10 讲讲 高斯函数（高斯函数（2） 【知识点【知识点】 高斯函数性质 1. 函数xy 是一个分段表达的不减的无界函数，即当 21 xx 时，有 21 xx；xy 是以 1 为 周期的周期函数。 2. 11xxxx， 01x； 3. ,xnxn其中Zn； 4. 对于一切实数yx,有yxyx； 若, 1 yx则, 1yxyxyx,为实数。 5. x是正实数，n是正整数，则在不超过x的正整数中，n的倍数共有 n x 个； 6. 设p为任一素数，在! n中含p的最高乘方次数记为) !(np，则有： )() !( 1 2 mm m pnp p n p n p n np。 7. 若,nyx则,bnyanx其中1,0ba，则有11yx； 8. 是整数时），（ 不是整数时 xx xx x )( , 1 ； 9. 厄尔米特恒等式：对任意实数0x及正整数) 1( nn，有 1 1 nx n n x n xx 。 高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离 散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。 解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行 划分） 、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。 2 【例题精讲】 【例题1】解方程：07 8 2 xx； 【例题2】已知 2 1 213 xx。求x的值。 解：由题意知13 2 1 2113xxx，得5 . 05 . 1x 所以5 . 1 2 1 25 . 3x，所以2, 313x解得. 4 5 4 3 或x 经检验. 4 5 , 4 3 21 xx 【例题3】解方程：)0( 2xxxx. 【注】解含高斯函数的方程一般步骤： （1）利用原方程解出x，代入原不等式组xxx1求出x的 取值范围，从而求得x的“可能取值” 。 （2）将这些“可能取值”代入原方程求解。 （3）检验。因（1） 中将x代入不等式组放大了x的取值范围。 3 【例题4】解方程9532xx。 【例题5】解方程： 5 715 8 65 xx 解 ： 令n x 5 715 （n为 整 数 ） ， 则 15 75 n x， 代 入 整 理 得 ：n n 40 3910 ， 则 1 40 3910 0 n n ，解得 10 13 30 1 n，则1 , 0 n，对应 15 7 x或 5 4 。 【例题6】解方程： 2 1 4 1 xx 4 【例题7】设 x表示不超过x的最大整数，求方程 2 2 xxxx 的解。 解：设10 ,aZnanx 所以 22 nana即0 22 nnaa，na 2 51 ，而1 2 51 0 n， 解得 2 51 2 51 n，即1 , 0n。 所以，当0n时，0a，0x；当1n时， 2 15 a，. 2 15 anx 综上， 2 15 0 或x。 【例题8】用x表示不小于x的最小整数， x表示不超过x的最大整数， 求方程 0248 2 xx的 解。 【例题9】求使关于x的方程2013 10 x n 有正整数解的最小正整数n的值。 解：由题意2014 10 2013 x n ，解得 2013 10 2014 10 nn x 有 nn x100004967. 0100004965. 0 取6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 n时，无解。取7 n时有解4966 x。故取最小自然数7 n。 5 【例题10】设1 a，正整数2 n，且方程 xax 恰有n个不同的解( x表示不超过x的最大整数)， 求a的取值范围。 解：由题意知 ）（ ）（ 21 1 xax axx ，由1a及（1）可得0x， 由（2）得 1 1 a x。即 1 1 0 a x，又因原方程有1n个正整数解。 所以n a n 1 1 1，从而 1 1 n n a n n 。 有关高斯函数的证明 【例题11】证明：对于任意实数x，有2 2 1 xxx 。 证明：设10 ,rZnrnx，则 左边= 2 1 2 2 1 rnrnn，右边=2222rnrn 当 2 1 0 r时，左边=n2=右边；当1 2 1 r时，左边=12 n=右边。 综上，结论成立。 【 一 般 形 式 】 厄 尔 米 特 恒 等 式 ： 对 任 意 实 数0x及 正 整 数) 1( nn， 有 1 1 nx n n x n xx 。 【例题12】设yx、为正整数，1,yx，求证： 2 1112 yx y xy y x y x 。 证明：由于x y xy y x ) 1( ，而x为正整数，则1 ) 1( y xy y x 所以 11 1 1 x y xy y x y xy y x 令 y xy y x y x S 12 ，则 ) 1)(1() 21 () 12 (2 yx y x y xy y xy y xy y x y x S所 以 2 1112 yx y xy y x y x 。 其他题型 6 【例题13】计算： 7 2013 7 2011 7 12 7 5 7 3 7 1 k ， 其中a表示a的小数部分。 解：由于3 7 13 7 11 7 9 7 7 7 5 7 3 7 1 ，周期为 7，共 1007 项相加。 而171441007 ，所以原式= 7 1 431 7 6 3144 。 【例题14】如图所示，圆周上有 2009 个点，按顺时针依次编号为 1 到 2009.今从编号为 1 的点开始，每隔 6 个点去掉一个点，则第 500 次去掉的点的编号是多少？ 3 2 1 2009 20