14 平面直角坐标系1教师初一培优

1 / 8 第十四讲 平面直角坐标系 1. 有序数对有序数对:有顺序的两个数a与b组成的数对，称为有序数对.记作（ba,） 2. 平面直角坐标系平面直角坐标系:在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴 称为 x 轴，取向右为正方向.竖直的数轴称为 y 轴，取向上为正方向.两坐标轴的交点称为原点.其 中 x 轴又称横轴， y 轴又称纵轴. 3. 点的坐标点的坐标:由某一点分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足在 x 轴上的读数，称为横坐标；垂足在 y 轴上 的读数，称为纵坐标. 如果 P 横坐标为 3，纵坐标为-4， 记为（3，-4）. 这称为点 P 的坐标. 4. 坐标象限坐标象限:直角坐标坐标系中的象限如右图， 坐标平面被两条坐标轴分成如右图四个部分， 分别叫 做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 第四象限 第三象限 第二象限第一象限 y x o -1 -1 1 1 F E D C B A y x o -1 -1 1 1 P y xo -1 -1 1 1 2 / 8 5. 平移变换：一般的 P(x， y)向右平移 a 个单位（a0） ，则新点的坐标为 （x+a， y） 一般的 P(x， y)向上平移 b 个单位(b0)，则新点的坐标为 (x， y+b) 6. 对称变换：一般的，P(x， y)关于 x 轴的对称点为 (x， -y) P(x， y)关于 y 轴的对称点为 (-x，y) P(x， y)关于原点的对称点为 (-x，-y) 规律：P(x， y)关于 x 轴的对称点的 y 变为相反数，关于 y 轴的对称点的 x 变为相反 数，关于原点的对称点的 x，y 都变为相反数 7. 两点间的距离公式：平面内两点 A( 11, yx)，B( 22, yx)， 则 A、B 两点间的距离为 AB = 2 21 2 21 )()(yyxx 3 / 8 【例题1】 关于原点，下列说法中正确的是（ C ） (A) 原点在x轴上，但不在y轴上 (B) 原点在y轴上，但不在x轴上 (C) 原点既在x轴上，又在y轴上 (D) 原点既不在x轴上，又不在y轴上 【例题2】 在平面直角坐标系中， 点P到x轴的距离是1， 到y轴的距离是2， 则点P坐标可能是 （ B ） (A)1,2 (B)2, 1 (C)1, 2 (D)1, 2 【例题3】 （1）点2, 5P到x轴的距离是 5 （2）点,P a b到y轴的距离是 a . 【例题4】 （1）电影院的座位号，3 排 5 号与 5 排 3 号分别记为（3，5） ， （5，3）. 教室里的座位号，2 排 4 座，记为（2，4）. 那么（4， 2）意义？ 解:4 排 2 座. （2）由点求坐标: 如右上图，分别求 A、B、C、D、E、F 点的坐标（每个小方格的边长为 1）. 解:A(4，3)， B(-3，-1)， C(2，-3)，D(-1，1)， E(3，0)， F(-3， 3) （3）由坐标画出点:在左上图的坐标系中分别画出 L(-5，-3)， M(4，0)， N(-4，2)，H(5，-3.5)， Q(0，5)， R(4， 2) 解:略. 【例题5】 若0mn ，则点,P m n必定在 直角坐标系 上. 解:由0mn 知0m或0n ，点P必定在直角坐标系上 【例题6】 （1）已知点,P x y在第二象限，则点3,Q xy在第 象限. （2）试着判断（-3，-4） ， （54,1 22 bba）所在象限. （3）点A在第一象限，当m 时，点1,35A mm到x轴的距离是它到y轴距离的一半 解:（1）第三象限， （2）分别在第三、第二象限， （3）由题意得 1 351 2 mm，解得: 11 5 m 或 9 7 4 / 8 【例题7】 （1）在直角坐标系内分别画出（-1，2） ， （1，2） 、 （3，2） ，并连接三点.观察图象的特征. （2）如果几个点所在直线平行于 x 轴，那么哪个坐标相等？ 解:y 坐标相等 （3）如果几个点所在直线平行于 y 轴，那么哪个坐标相等？ 解:x 坐标相等 【例题8】 （1）长方形 ABCD 中，已知 A(-4， 1)， B(0， 1)， C(0，3)，则 D 点坐标为_（-4，3） _. （2）如果点 P（1,aa）在 x 轴上， 那么 P 的坐标为_(1， 0)_. （3）P(3，4)到 x 轴的距离是_4_， 到 y 轴的距离是_3_. （4）如果第四象限内一点 M 到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 5，那么 M 为_(5， -3)_. （5）如果 2x+10， 那么 P(-x， y)在第_一_象限. （6）如果 M(abba,)在第二象限，那么 N(ba,)在第_三_象限. （7） 分别在直角坐标系中画出 4 个满足下列条件的点，并观察这些点的位置，它们各有什么规 律？ 横坐标与纵坐标相等. 横坐标与纵坐标相反. 横坐标与纵坐标的和是 6. 解:找四个点略.规律:（1）一三象限的角平分线； （2）二四象限的角平分线线； （3）在一条直线上. 【例题9】 已知点(2,36)Aa a （1） 若点 A 在一、三象限的角平分线上，求 a 的值； （2） 若点 A 在二、四象限的角平分线上，求 a 的值； （3） 若点 A 到两坐标轴的距离相等，求 a 的值 解:（1）1a ； （2）4a ； （3）1a 或4a 【例题10】 如图所示，在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图形中 每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜想由里向外第 100 个正方形（实 线）四条边上的整点共有_400_个 5 / 8 【例题11】 （1）在直角坐标平面内，如果点(39,1)P aa在第三象限内，且横、纵坐标都是整 数，试求点 P 的坐标 （2）如果点( , )P x y在直角坐标平面的第一象限内，x、y 都是整数，且5xy，那么 满足条件的点 P 共有几个？ 解:（1）( 3, 1) ； （2）6 【例题12】 如图，在平面直角坐标系中画出与ABC 全等的所有三角形，并写出每个三角形的顶点 的坐标 解: 1(1,3) A、 1(3, 1) B、 1( 4, 4) C ； 2( 1, 3) A 、 2( 3,1) B 、 2(4,4) C； 3(1, 3) A、 3(3,1) B、 3( 4,4) C 【例题13】 如果点 2 1,4P mmm到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求P点的坐标. 【例题14】 将 A（2，3）向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，得到 B 的坐标， 那么 B 的坐标 为 （5，-1）. 【例题15】 写出 P(3， 4)分别关于 x 轴，y 轴，原点的对称点 解：(3，-4)， (-3，4)，(-3， -4) 【例题16】 （1）把点向上平移 5 个单位后落在 x 轴上，则 a 的值是_10_ （2）通过平移把移到，则经过同样的平移方法可移到的坐标是_ _ 【例题17】 两点在平行于坐标轴的直线上 （1） A(-2，1)， B(3，1)， 则 AB=_5_ 3, 2 a M a (3, 2)A(1,1) A (4,0)B B (2,3) 6 / 8 （2） C(2，1)， D(2，-3)， 则 CD=_4_ （3） M()，N()，则 MN=_ （4） P()，Q()，则 PQ=_ 【例题18】 两点在平面内的任意位置 （1）若 A(1，2)， B(4， 6) ，则 AB=_5_. （2）三角形 ABC 中， A(1，2)， B(-2， 1)，C(3，-4) .把三角形 ABC 平移至 ABC， 且 A(-1， 5)， 则 B_(-4，4)_， C_(1，-1)_. （3）A()， B() ，如果 A、B 关于 x 轴对称，则 a=_3_，b=_2_； 如果 A、B 关于原点对称，则 a=_-3_， b=_2_. （4）A(-2，0)， B(0，-2)， C(3， 3)， 三角形 ABC 为_等腰_三角形 （5）A(-2，-1)， B(4，-1)， C(3，5)， 三角形 ABC 的面积为_18_. （6）M(-3，0)， N(0， -3)， P(2，5)， 三角形 ABC 的面积为_15_.（由勾股定理的逆定理得直角 三角形；割补法 ） 【例题19】 若为实数， 点与点关于坐标原 点对称，则将代数式因式分解的结果是 . 【例题20】 在平面直角坐标系中， 对于平面内任一点， 规定以下两种变换， 如； ， 如 按 照 以 上 变 换 有 ： ，那么等于（ A ） A、 B、 C、 D、 【例题21】 已知直角坐标平面内两点、， 将点 B 向上平移 5 个单位到达点 C，求： （1） A、B 两点间的距离； （2） 写出点 C 的坐标； （3） 四边形 OABC 的面积 解： （1）5； （2）； （3）15 ax , 1 ax , 221 xx 1 ,ya 2 ,ya 21 yy 2,ab, 3 ,X Y32, 338AXXY37, 254BYXY 22 62Xaabb Y6 23abab (),m n( , )( ,)f m nmn (2,1)(2, 1)f( , )(,)g m nmn (2,1)2, 1g (3,4)( 3, 4)( 3,4)f gf ,2()3g f (3,2)(3, 2)( 3,2)( 3, 2) ( 2, 3)A (3, 3)B (3,2)C 7 / 8 【例题22】 在直角坐标平面内，作出点、点，在坐标轴上找点 C，使ABC 成等腰三 角形，求所有符合条件的点 C 的坐标 解：，、 【例题23】 已 知，的 面 积 为， 求 代 数 式 的值. (6,0)A(0,8)B ( 6,0)( 4,0)(16,0) 7 ,0 3 (0, 8) 7 0, 4 (0, 2)(0,18) 4,0A1,0Bx1,3CABC6 222 25432xxxxx 8 / 8 1. 如图所示，如果点 A 的位置为(3,2)，那么点 B 的位置为_(2,5)_，点 C 的位置为_ (4,4)_，点 D 和点 E 的位置为_(6,3)_，_(2,3)_ 2. 如果点3, 2 a M a 在 y 轴上，则点 M 的坐标为_ 3 0, 2 _ 3. 若点 N 位于 x 轴下方，距 x 轴 3 个单位长度，且位于 y 轴右方，距 y 轴 2 个单位长度，则点 N 的 坐标是（ D ） A、( 3, 2) B、( 3,2) C、( 2, 3) D、(2, 3) 4. 点 ,1P xy一定（ D ） (A)在第一、三象限 (B)在第一、四象限 (C)在x轴的下方 (D)不在x轴的下方 5. 如果点(2,43 )P ab在第三象限，那么 a、b 的取值范围分别是_ 4 2, 3 ab _ 6. 已知ABC，( 3,2)A ，(1,1)B，( 1,2)C ，现将ABC 平移，使点 A 到点(1, 2)的位置上，则 B、 C 的坐标分别为_(5, 3)_，_(3, 2)_ 7. 设已知点 A 的坐标是( 3,2)，则点 A 关于 x 轴的对称点