高二数学导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算,第三单元导数及其应用,基础梳理,1.函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率(1)函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为_(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“_”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“_”2.函数f(x)在x=x0处的导数(1)定义设函数y=f(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若Dx无限趋近于0时，比值=_无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作_,(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点_处的_相应地，切线方程为_3.函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的_而_，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作_4.基本初等函数的导数公式,5.导数运算法则(1)f(x)g(x)=_；(2)Cf(x)=_(C为常数)；(3)f(x)g(x)=_；(4)=_g(x)06.复合函数的导数一般地，若y=f(u)，u=ax+b，则yx=yuux,即yx=yua.,三星学科,教师助手,学生帮手,家长朋友！,答案：1.(1)(2)数量化视觉化2.(1)f(x0)(2)(x0，f(x0)切线的斜率y-f(x0)=f(x0)(x-x0)3.变化变化f(x)4.k012x3x2-axa-1axlnaexcosx-sinx5.(1)f(x)g(x)(2)Cf(x)(C为常数)(3)f(x)g(x)+f(x)g(x)(4),基础达标,1.函数f(x)=2x+b在区间m，n上的平均变化率为_2.若f(x0)=2，则当k无限趋近于0时，=_.3.函数y=x3+cosx的导数为_4.(选修2-2P26第4题改编)曲线y=x-cosx在x=处的切线与直线ax+y-1=0垂直，则a的值为_5.(选修2-2P26第6题改编)曲线y=x2+3x-8在与直线y=2的交点处的切线方程为_,答案：1.2解析：一次函数的平均变化率即为该函数对应直线的斜率2.-1解析：=-=-f(x0)=-1.3.3x2-sinx解析：y=(x3+cosx)=(x3)+(cosx)=3x2-sinx.4.1解析：y=+sinx，故k=y|x=+sin=1，由于切线与直线ax+y-1=0垂直，故-a=-1，即a=1.5.7x-y-12=0和7x+y+33=0解析：当y=2时，x2+3x-10=0，解得x=2或-5，即切点分别为(2,2)和(-5,2)又y=2x+3，则两切线的斜率分别为7和-7.所以切线方程为y-2=7(x-2)和y-2=-7(x+5)，化简可得切线方程为7x-y-12=0和7x+y+33=0.,经典例题,题型一导数的定义【例1】设函数f(x)存在导数，当t无限趋近于0时，化简=_.,解：当t无限趋近0时，原式=4f(a)-5f(a)=-f(a),题型二导数的运算【例2】求下列函数的导数(1)y=x2sinx；(2)y=；(3)y=(3x3-4x)(2x+1)；(4)y=.,解：(1)y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx.,(3)y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x，y=24x3+9x2-16x-4.,(4)y=(1+x2)-=-(1+x2)-(1+x2)=-x(1+x2)-=-.,变式2-1求下列函数的导数：(1)y=x3+；(2)y=-sin；(3)y=xe1-cosx.,解：(1),(2)y=-sin=sinx，y=(sinx)=cosx.(3)y=(xe1-cosx)=e1-cosx+x(e1-cosx)=e1-cosx+xe1-cosx(1-cosx)=e1-cosx+xe1-cosxsinx=(1+xsinx)e1-cosx.,题型三导数的物理意义【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2.(1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=1的瞬时速度,解：(1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为(2)方法一(定义法)：由(1)得=-3t-6.当t趋于0时，趋于定值-6.质点在t=1时的瞬时速度为-6.方法二(求导法)：质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t，当t=1时，v=-6.,题型四导数的几何意义及在几何上的应用【例4】已知曲线y=x3+.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程,解：(1)y=x2，在点P(2,4)处的切线的斜率k=y|x=2=4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率k=y|x=x0=x02.切线方程为y-=x02(x-x0)，即点P(2,4)在切线上，即x02(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0，(x0+1)(x0-2)2=0，解得x0=-1或x0=2，所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.,变式4-1求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离,解：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线2x-y+3=0，即斜率是2，则y|x=x0=x=x0=2，解得x0=1，所以y0=0，即点P(1,0)，点P到直线2x-y+3=0的距离为曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.,易错警示,【例】函数y=2x2+3过点P(2,9)的切线方程为_错解由y=2x2+3，可得y=4x，故y|x=2=8，切线的斜率为8，切点为P(2,9)，故切线方程为y-9=8(x-2)，即8x-y-7=0.,错解分析：切线所过定点并不一定是切点，即使此点在曲线上，也有可能另有切点存在.,正解：设过点P的切线的切点为T(x0，y0)，则切线的斜率为4x0，又kPT=，故=4x0，所以2x02-8x0+6=0，解得x0=1或x0=3.即切线PT的斜率为4或12，所以过点P的切线为y=4x+1或y=12x-15.,链接高考,(2010全国改编)若曲线y=x-在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=_.知识准备：1.知道曲线y=x-在x=a处的切线方程的斜率是在此点处的导数，采用点斜式写出方程.2.要知道切线与坐标轴