第三章力学位移和应变分析ppt课件

。1、第三章位移和应变分析，讲师：韩复兴，吉林大学，2、当物体受到外力时，物体中的点之间存在相对位移，因此物体的形状和大小会发生变化，即变形。本章主要讨论三个问题：1 .位移分量和应变分量及其关系；2.物体中点的应变分析；3.坐标旋转时应变分量、主应变和主方向的表达式；4.非旋转变形和等体积变形；5.应变协调方程。位移分量、应变分量及其相互关系。首先，位移分量，即物体受力后各点的位移，一般分为两部分，一部分是与物体变形相对应的位移，称为相对位移；另一部分是独立于物体变形的位移，称为刚性位移。在对象变形之前，在点M(x，y，z)变形之后，该点从原始位置移动到新位置M(x，yz)，这被称为点M的位移，在x，y，z轴上的投影u，v，w被称为点的位移分量，并且符号规定u，v，w根据坐标轴的正方向是正的，相反是负的。考虑外力作用下的两种状态：平衡状态：m点只随位置变化，不随时间变化；位移分量(u，v，w)只随位置而变化，不随时间而变化。运动状态：m点不仅随位置变化，也随时间变化；位移分量(u、v、w)随位置和时间而变化。本章只考虑平衡态。根据连续性假设，当物体变形时，物体上的任意点m都与对应的点m一一对应。位移分量是点坐标的单值连续函数。也就是说，由于操作的需要，假设位移分量具有从连续到三阶的偏导数。应变分量用于分析对象中某一点的应变状态，并在对象中的任意点提取平行于三个坐标平面的微分平行六面体(单元体)。让它的三条边的长度分别为dx、dy和dz。在小变形的假设下，单元体的每个投影面的变形与差速器体的变形之间的差异很小。因此，对于这个微型物体，只需要研究它在每个坐标平面上的投影变形。变形包括：1 .每个边长的变化(伸长或缩短)用法向应变表示；2.边缘角的变化用剪切应变表示。沿坐标轴x、y、z、y和z的正应变分量为：剪切应变分量为微分平面之间直角的变化。(以弧度表示)，注意：即指向对象中某一点的线元素之间沿x和y方向夹角的变化量。当微分平行六面体的边无限缩小到m点时，某一点的应变状态可以用六个应变分量来表示。应变分量和位移分量之间的关系通过微体变形后微分平行六面体在坐标平面上的投影来表示。以氧平面上的投影为例，研究了应变分量与位移分量的关系：将点P在X轴和Y轴上的位移分为：点A和点B对应的位移分量分为：根据多元函数的泰勒级数展开，忽略二阶以上的无穷小，则点A和点B的位移分量分别为，11、一点变形，线段延长或缩短；线段之间的相对旋转；检查点p附近线段的变形。12，整理出33，354个几何方程，表明(1)反映任一点位移与该点应变之间的关系，是弹性力学的基本方程之一。(3)，两条线段之间的角度减小到正，增加到负。，14，其他应变分量和位移分量之间的关系可以通过使用微体在其他两个坐标平面上的投影来获得：这个公式称为几何方程，也称为柯西方程。如果位移分量已知，从几何方程导出的偏导数可以得到应变分量。如果应变分量是已知的，那么位移分量的计算是复杂的，并且积分需要确定积分常数，该常数由边界条件确定。15、应变分量的符号规定：正应变：带正符号的正应变表示该方向的伸长，带负符号的正应变表示该方向的缩短；剪切应变：正号表示两条坐标轴正方向的直线之间的角度减小，负号表示两条坐标轴正方向的直线之间的角度增大。16，3-2对象中无限相邻两点的旋转分量变化，1。旋转分量，分析物体某一点上任意不同平行度的变形，考虑六个应变分量，但剪切应变是两个相应角度的总和；如果两个角之和是常数，剪切应变是常数；然而，这两个角度可以相等或不等，因此变形的几何图像(位移状态)是不同的。为了使变形的几何表示完整，引入了三个分量：旋转分量，研究物体中任意点m附近的变形状态，在点m处取立方微分体。研究了变形立方微分体中对角MQ绕Z轴的旋转角：对角MQ绕Z轴的旋转角为。同样，我们可以得到三次微分体中分别围绕y轴和x轴的对角线MS和MT的角公式。通常用旋转角度的两倍来表示，称为旋转分量，因此六个应变分量和三个旋转分量可以使物体中某一点的几何图像完全变形。如果点a的位移矢量用u(x，y，z)，v(x，y，z)，w(x，y，z)表示，那么点b的位移矢量用u，v，w，22表示，用多元函数的泰勒级数展开，基于小变形的假设，忽略二阶以上的微分项，我们可以得到：23，可以获得变形：24，用矩阵表示。结论：与点A无限相邻的点B的位移由三部分组成：1、沿着点A的平移位移，2、由于围绕点A的刚性旋转而在点B产生的位移，以及3、由于与点A、A、B、25、3-3相邻的单元体的变形而在点B产生的位移。问题：1。找出通过该点的任何方向上的微分线段的法向应变；2.通过该点找出任意两个方向上的微分线段之间夹角的变化。(注意剪切应变的定义)。首先，找出沿着点A的N方向的任何微线段AB的正应变。这个微分线段在直角坐标轴上的投影是：26.如果点A的位移分量是U，V，W，那么点B的位移是：27.物体变形后，微分线段AB变为AB，那么AB在坐标轴上的投影为(点B的位移分量AB的长度-点A的位移分量)，线段AB的正应变为，28，29，用矩阵表示为：30，称为应变张量，31，2，求出通过点A，32，变形前的夹角，变形后的夹角，33，34，A B 的方向余弦是，AC 的方向余弦是。35，用矩阵表示为：36，变形后的夹角，37.夹角的变化量为，38岁。39，矩阵表示旋转轴时应变分量的变换。40，3-4，类似于应力分析。当坐标轴旋转时，旋转后的新坐标系中的对象点的应变分量可以由原始应变分量表示。将坐标系旋转一定的角度，得到新的坐标系，新坐标系与旧坐标系的关系如下：l，m，n表示新坐标系到新坐标系的方向余弦.45，设AB代表物体中一点沿其主方向A的微分线段，其方向余弦为L，M，N。变形后，线段AB变成“B”，方向余弦为L，M，n，代表线段AB的正应变，即主应变。嘿。嘿。46，公式可以如下变形：47，线段AB的方向余弦是l，m，n，变形后，线段AB变成“B”，方向余弦是l，m，n”；一般来说，他们是不平等的。然而，它们的偏离是由单元体的刚性旋转引起的。所以(l，m，n)与(l，m，n，48一致，这是应变的主方向应该满足的方程，方向余弦也应该满足。与应力分析相似，通过对主应力的分析，可以得到求主应变的方程。49，分别称为第一、第二和第三应变不变量。应变状态特征方程的三个根是点A的三个主应变。主应变的方向，即应变的主方向，可以通过将主应变的结果带入方程中来找到。当主应变已知时。51，对应于主应变的方向的余弦可以通过将两个方程除以来获得。52，同样，可以获得其他两个主平面的方向的余弦。53，主应变和主方向之间的对应关系，54、方程的根的讨论必须是三个实根，证明方法与第二章证明应力时的方法相同，并且采用了归约法。点的应变状态与坐标系的选择无关，因此坐标变换不影响应变状态。应变不变量是应变状态性质的表达式。应力张量应力不变量主应变和应变主轴与各向同性材料的主应力和应力主轴的特征相似，应力主轴和应变主轴重合，公式比较。57，3-6体积应变，体积应变：物体变形后单位体积的变化，物体中任意点的体积变化通过体积的相对变化(体积应变)来反映。取一个微分六面体在物体中任意点M(x，y，z)附近，每条边的长度为dx，dy，dz，其体积为：变形后，由于线性应变，剪切应变不会引起微分体每条边长度的变化，而由剪切应变引起的体积变化为高阶迹，这可以省略。因此，在研究体积变化时，只考虑正应变的影响。变形前，变形后，即应变的第一应变不变量。一点的体积应变等于位移场的散度。61，3-7非旋转变形和等体积变形的位移矢量公式，考虑了物体所占空间中各点位移的分布和变化，引入了位移场的概念。场的概念定义了位移场。如果一个物体所占据的空间中的每一个点都面对一个位移，而这个位移的大小和方向是完全确定的，那么这个位移场就被称为位移场。从场论的角度，位移分析如下：1 .非旋转情况下的位移场，例如当物体变形时，任何微小的体积都不会刚性旋转。这种变形称为非旋转变形，也就是说，如果连续体中的位移场具有标量势，则位移场等于标量势的梯度。这种位移场称为势场，或非旋转场。63，证明了：位移场为势场的充要条件是，因此，证明了如果位移场为势场，位移场的旋转度等于零，如果位移场的旋转度为零，则该位移场为势场，1，2，。64、2等。体积变形管的量场，如物体变形，任何微小体积的大小都不变，即体积应变为零，这样的变形称为等体积变形。在这种情况下：如果连续体中的位移场有一个矢量位，位移场一般来说，当物体变形时，位移矢量公式中的任何微小体积都有体积变化和刚体转动。因此，相应的位移场是势场和管场的叠加。也就是说，位移向量可以被分解成两个子向量。第一个子矢量表示没有旋转，但是纯体积膨胀的位移是标量势的梯度。第二个分量向量表示没有体积膨胀的纯旋转位移，即向量位的旋度。这是位移矢量公式。70，3-8位移边界条件。要解决弹性问题，必须考虑边界条件力的边界条件：物体表面上的表面力给定，位移边界条件：物体表面给定位移。力的边界条件给出了应力与平面力的关系。位移边界条件是指当物体变形时，相应的位移函数应在边界上满足的条件。如果物体表面的位移是已知的，它被称为位移边界。位移边界由su表示。如果物体表面的位移称为位移边界条件。72，假设物体的表面是s位移已知边界su表面力已知边界s s，则s=su ss，弹性体的整个边界由表面力边界和位移边界组成。任何边界都可以是表面力边界或位移边界。表面力边界和位移边界在某些条件下可以转换，如静定问题。对于某些问题，边界部分的位移是已知的，而另一部分的表面力是已知的。这种边界条件称为混合边界条件。无论是表面力边界条件、位移边界条件还是混合边界条件，弹性体任意边界的边界条件数不能超过或小于3，且必须等于3。在位移边界条件的例子中，弹性半空间上有一个厚度为h的弹性层。这两者密切相关。试着写出这个半空间和弹性层之间的界面上的位移边界条件。嘿。75，3.9应变协调方程，数学含义：几何方程6应变分量通过3个位移分量描述机械含义；变形的连续弹性体的任何点的变形必须受到其相邻单元体的变形的约束。76，变形协调方程的数学意义使6个以3个位移为未知函数的几何方程不矛盾。变形协调方程的物理意义每个单元体变形后都会改变形状。如果变形不满足一定的关系，变形后的单元体就不能重新组合成连续体，就会出现间隙或嵌入现象。为了保持变形物体的连续性，应变分量必须满足一定的关系。3.9应变协调方程，77、应变协调方程，通过连续性假设，物体变形前后是一个连续体，所以物体中每个单元体和单元体之间的变形必须相互协调；否则，每个单元在变形后不能形成连续体。位移分量：u，v，w，应变分量：几何方程：78，例3-1设定ex=3x，ey=2y，gxy=xy，ez=gxz=gyz=0，计算其位移。解决方案：显然，这个应变分量没有相应的位移。为了使方程不矛盾，六个应变分量必须满足一定的条件。我们将着手建立这个条件。79，考虑xy平面中应变分量之间的关系，计算几何方程：如下：显然：应变协调方程(或相容性方程)，即必须满足上述公式，以确保位移分量u，v的存在和协调，从而获得这些位移分量。嘿。80，考虑不同平面中应变分量之间的关系：81，应变协调方程，圣维南方程。82，3-11变形表达式在球对称坐标下，对应应力情况，以弹性体的对称点为坐标原点，