高斯(Gauss)求积公式PPT演示课件

,数值分析,前面介绍的n+1个节点的Newton-Cotes求积公式，其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。n是偶数时，代数精度为n+1，n是奇数时，代数精度为n。,我们知道n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n。设想：能不能在区间a,b上适当选择n+1个节点x0 x1,x2,xn,使插值求积公式的代数精度高于n？,答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。,第四节高斯(Gauss)求积公式,数值分析,1,数值分析,考虑更一般形式的数值积分问题,定义：若求积公式对一切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的代数精度为m.,一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法,数值分析,2,数值分析,定理1：设节点x0,x1,xna,b，则求积公式的代数精度最高为2n+1次。,分别取f(x)=1,x，x2，.xr代入公式，并让其成为等式，得：A0+A1+An=ab1dx.=b-ax0A0+x1A1+xnAn=abxdx.=（b2-a2)/2.x0rA0+x1rA1+xnrAn=abxrdxr=(br+1-ar+1)(r+1),数值分析,3,数值分析,事实上,取2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2.(x-xn)2代入求积公式,这里x0,x1,xn是节点，有,左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为2n+1次。证毕.,上式共有r+1个等式，2n+2个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数,即r+1=2n+2,这样导出求积公式的代数精度至少是2n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.,数值分析,4,数值分析,定义:使求积公式达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数.,因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有结论:n+1个节点的插值型求积公式的代数精度d满足：nd2n+1。,数值分析,5,数值分析,例：选择系数与节点，使求积公式（1）成为Gauss公式。,解：n=1,由定义，若求积公式具有3次代数精度，则其是Gauss公式。为此，分别取f(x)=1,x，x2，x3代入公式，并让其成为等式，得,求解得：,所求Gauss公式为：,(1)用待定系数法构造高斯求积公式,数值分析,6,数值分析,设Pn(x)，n=0,1,2,为正交多项式序列，Pn(x)具有如下性质：,1）对每一个n,Pn(x)是n次多项式。n=0,1,2）,(正交性),3）对任意一个次数n-1的多项式P(x)，有,4）Pn(x)在(a,b)内有n个互异零点。,（2）利用正交多项式构造高斯求积公式,数值分析,7,数值分析,定理2设x0,x1,xn是n+1次正交多项式Pn+1(x)的n+1个零点,则插值型求积公式,是Guass型求积公式。,证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对任意一个次数2n+1的多项式求积公式都精确成立。,设f(x)为任意一个次数2n+1的多项式，则有f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足f(xk)=r(xk)这里，Pn+1(x)是n+1次正交多项式，q(x)、r(x)均是次数n的多项式。,数值分析,8,数值分析,由性质3）及(4)式，有,由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n，故有,即对f(x)为任意一个次数2n+1的多项式求积公式都精确成立。证毕,数值分析,9,数值分析,利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：,代入积分式,因此，求积系数为,数值分析,10,数值分析,数值分析,11,数值分析,数值分析,12,数值分析,常用的高斯求积公式,1.Gauss-Legendre求积公式(1)其中高斯点为Legendre多项式的零点,Guass点xk,Guass系数Ak都有表可以查询.,数值分析,13,数值分析,数值分析,14,数值分析,数值分析,15,数值分析,数值分析,16,数值分析,一般区间的Gauss-Legendre求积公式,如果积分区间是a,b，用线性变换,这样就可以用Gauss-Legendre求积公式计算一般区间的积分.,将积分区间从a,b变成-1,1,由定积分的换元积分法有,数值分析,17,数值分析,数值分析,18,数值分析,数值分析,19,数值分析,数值分析,20,数值分析,数值分析,21,数值分析,例利用高斯求积公式计算,解:令x=1/2(1+t),则用高斯-Legendre求积公式计算.取n=4积分精确值为I=ln2=0.69314718由此可见，高斯公式精确度是很高的.,数值分析,22,数值分析,例:分别用不同方法计算如下积分,并做比较,各种做法比较如下：1、用Newton-Cotes公式当n=1时，即用梯形公式，I0.9270354当n=2时,即用Simpson公式,I0.9461359当n=3时,I0.9461090当n=4时,I0.9460830当n=5时,I0.9460830,I准=0.9460831,数值分析,23,数值分析,2:用复化梯形公式令h=1/8=0.1253：用复化辛卜生公式令h=1/8=0.125,I准=0.9460831,数值分析,24,数值分析,4、用Romberg公式KTnSnCnRn00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.940083030.94569060.94608330.94608310.9460831,I准=0.9460831,数值分析,25,数值分析,5、用Gauss公式解：令x=(t+1)/2,I准=0.9460831,（2）用3个节点的Gauss公式,（1）用2个节点的Gauss公式,数值分析,26,数值分析,算法比较,此例题的精确值为0.9460831.由例题的各种算法可知：对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。对复化梯形公式有2位有效数字，对复化辛卜生公式有6位有效数字。用复合梯形公式，对积分区间0，1二分了11次用2049个函数值，才可得到7位准确数字。用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数值，得到同样的结果。用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果。,数值分析,27,数值分析,2.Gauss-Chebyshev公式,常用的高斯求积公式,数值分析,28,数值分析,3.Gauss-Laguerre公式,数值分析,29,数值分析,4.Gauss-Hermite公式,数值分析,30,数值分析,二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析,数值分析,31,数值分析,已知Hermite插值误差是,因为对2n+1次多项式求积公式准确成立，即,代入上式,即有,数值分析,32,数值分析,以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正,数值分析,33,数值分析,数值分析,34,数值分析,将积分区间a,bn等分，在每个小子区间上使用一个节点数较少的Gauss型求积公式,然后把它们加起来，就得到整个区间上Gauss型求积公式的复化形式。,复化Gauss求积公式的基本思想：,下面用Gauss-Legender求积公式推导复化Gauss型求积公式.,将积分区间a,bn等分，,三、复化Gauss求积公式,数值分析,35,数值分析,数值分析,36,数值分析,例如,用2点的Gauss-Legender求积公式复合