巴拿赫(Banach)火柴盒问题VIP

巴拿赫（Banach）火柴盒问题波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴，分别放在两个衣袋里，每盒有根火柴. 每次使用时，便随机地从其中一盒中取出一根. 试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根数的分布规律.解 为了求得巴拿赫衣袋中的一盒火柴已空，而另一盒还有根的概率，我们记为取左衣袋盒中火柴的事件，为取右衣袋盒中火柴的事件. 将取一次火柴看作一次随机实验，每次实验结果是或发生。显然有.若巴拿赫首次发现他左衣袋中的一盒火柴变空，这时事件已经是第次发生，而此时他右边衣袋中火柴盒中恰剩根火柴相当于他在此前已在右衣袋中取走了 根火柴，即发生了次. 即一共做了次随机试验，其中事件发生了 次,发生了次. 在这次实验中，第是发生，在前面的 次实验中发生了次. 所以他发现左衣袋火柴盒空，而右衣袋恰有根火柴的概率为由对称性知，当右衣袋中空而左衣袋中恰有根火柴的概率也是.最后得巴拿赫发现他一只衣袋里火柴空而另一只衣袋的盒中恰有根火柴的概率为1、作者：周义仓，赫孝良2、书名：数学建模实验3、出版社：西安交通大学出版社4、出版时间：1999年10月巴拿赫（Banach）火柴盒问题波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴，分别放在两个衣袋里，每盒有n根火柴。每次使用时，便随机地从其中一盒中取出一根。试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根数的分布规律。为了求得巴拿赫衣袋中的一盒火柴已空，而另一盒还有k根的概率，我们记A为取左衣袋盒中火柴的事件， 为取右衣袋盒中火柴的事件。将取一次火柴看作一次随机实验，每次实验结果是A或发生。显然有P（A）= P（）=.若巴拿赫首次发现他左衣袋中的一盒火柴变空，这时事件A已经是第n+1次发生，而此时他右边衣袋中火柴盒中恰剩k根火柴相当于他在此前已在右衣袋中取走了n-k根火柴，即发生了n-k次。即一共做了2n-k+1次实验，其中事件A发生了n+1次，发生了n-k次。在这2n-k+1次实验中，第2n-k+1次是A发生，在前面的2n-k次实验中A发生了n次。所以他发现左衣袋火柴盒空，而右衣袋恰有k根火柴的概率为又对称性知，当右衣袋中空而左衣袋中恰有k根火柴的概率也是。最后得巴拿赫发现他一只衣袋里火柴空而另一只衣袋的盒中恰有k根火柴的概率为，k=0,1,n（*巴拿赫（Stefan Banach，公元1892年3月30日公元1945年8月31日）是著名的波蘭數學家。生於克拉科夫，卒於利沃夫。1910年進入利沃夫工學院學習，1919年獲博士學位。1919年起任利沃夫工學院數學講師，1922年轉為利沃夫大學的講師，1927年成為教授。先後被選為波蘭科學院和烏克蘭科學院的通訊院土、波蘭數學學會主席。第二次世界大戰期間，波蘭被德軍占領，他在一所醫學研究所做喂養昆蟲的工作，停戰後又回到利沃夫大學工作。巴拿赫是利沃夫學派的開創人之一，對泛函分析的發展做出了突出貢獻。他引進了線性賦範空間的概念，建立了其上的線性算子理論。他證明了作為泛函分析基礎的三個定理：哈恩巴拿赫延拓定理、巴拿赫斯坦因豪斯定理及閉圖象定理。這些定理概括了許多經典的分析結果，在理論上和應用上都有重要價值。人們把完備的線性賦範空間稱為巴拿赫空間。此外，巴拿赫在正交級數論、集合論、測度論、積分論、常微分方程論、複變函數論等方面都有很多出色的工作。其主要著作線性算子理論被譯成多種文字，有很大影響。*)这是独立重复试验吗？“巴拿赫火柴问题”质疑唐登永 重庆市合川中学随着新的课程标准的实施,概率进入到了中学课堂。一个经典数学名题“巴拿赫火柴问题”为各大教辅资料所青睐，纷纷选为例题或习题。“巴拿赫火柴问题”：某人有两盒火柴各n根，每次使用火柴时，他随机地从任一盒中抽出一根，经过一段时间后，他发现其中一盒火柴已用完，求此时另一盒为柴还有r根的概率。解法一：（摘自名师导航 金版教程丛书之高二数学 光明日报出版社）这是一个独立重复实验题。设事件A“一盒已用完，另一盒还有r根”，A1“甲盒用完，乙盒还有r根”，A2“乙用完，甲还有r根”，则显然事件A1、A2互斥，P(A)=P(A1)+P(A2)。事件A1相当于共抽取2n-r+1，而且第2n-r+1次取自甲盒，前2n-r次恰好是2n-r次独立重复实验；又从甲盒中抽取与从乙盒中抽取是等可能的，其概率为。故P(A1)CP(A2)P(A)=C=C.解法二：（成才之路高二数学 内蒙古少儿出版社出版）这是一个2n-r重独立重复实验。由于从两盒中抽取是等可能的，其概率为。故概率为P(A)=C=C我校所用资料高中数学导学导练中也有类似题目：甲、乙两冰箱内各有5听饮料，某人每次饮用时，在任一箱中任取一听，求甲冰箱饮用完毕而乙冰箱还有4听的概率。学生做来也是五花八门，并且只有少数人用独立重复试验的方法求解。解法三：（对应计数法笔者）将抽出的火柴排成一列，不妨用0表示取自甲盒的火柴，用1表示取自乙盒的火柴，则每一种抽取方法与0、1的一个排列之间是一一对应关系（0或1的个数都不超过n个）。于是，该题就是取2n-r个0，1排成一列，要求n个0（或1）全部取出排在这2n-r个位置的概率，利用概率的定义便可求解。有利事件数为：2，基本事件数为：故概率为 三种解法各不相同，特别是解法三与前两种解法更是截然不同，为什么？如果作为独立重复试验，本题与投掷硬币，一面出现n次时，另一面恰好出现n-r次的概率似乎是一样的，至少从标准答案看是一致的。笔者在审查自已的解法时也发现，若将基本事件数确定为22n-r+1，即2n-r+1个位置中，每个位置可排0或1，则与解法一相吻合了。其实不然，因为投掷硬币，一面出现的次数是不受限制的，即某一面可以出现2n-r次。而本题中若第2n-r+1个位置的前面若干个位置中若已排了n个0（或1），那么其后的位置不可能有两种排法了（要么剩下1，要么剩下0）；就是说，若独立重复试验进行若干次后，某一盒火柴已用完，再试验则只可能是必然事件或不可能事件了，这与投掷硬币是不同的。如果将此题改为某人有两盒