《信号与系统》-第五章-拉普拉斯变换-前5节

第五章拉普拉斯变换51定义、存在性（信号与系统第二版（郑君里）42）问题的提出信号的傅里叶变换存在要求，但有些信号不绝FT1L,FT对可积，例如。当时的处理方法是乘以双边指数函数，把符号函1SGNL数“拉”下来，使相乘以后的信号绝对可积。|0LIMSGN0TTEFF，因此，便考虑将纳入积分核，使非绝对可积信号可以做频谱分析。T为使问题简化，仅考虑T0的情形，即因果信号、单边变换。对因果信号，FUJJ00DDTTTTEFEFTEFSTL（51）定义信号的（单边）拉普拉斯变换为FT0DJSTFSFTFE，L（52）JJ012TTTFEE令，为常数，JSDJSJJ12TFTFEJ1D2STFTSFEL（53）（42）式和（43）式是一对拉普拉斯变换式，称为原函数，FT称为像函数。FS定义（指数阶函数）指分段连续（存在有限个第一类间断点），FT且，使，对。0MT，0TMETT注。0OTFTE存在。FSS命题指数阶信号的拉氏变换存在。证明，对0TFTME0TT00DDDSTSTSTTSFFEFETSTSTTFE0TTFE0000DTMAMEA注1）为非指数阶信号。23,TET2）为指数阶信号，其中为多项式。TPPT3）为收敛坐标，过垂直于轴的垂线为收敛轴，为收敛000域（已知收敛域）。4）指数阶函数是衡量信号拉氏变换存在的标准，并指定了收敛轴。在收敛轴右边拉氏变换收敛，并不意味着其左边一定不收敛。图51例1FTU即收敛001TEMT，01D|STSTETL（54）例2负指数信号001D|STTTSEES（55）例3幂次信号10DNNSTNTETLL（56）N0，UTN1，2S（57）NN，1NNTL（58）积分下限当在处是第一类间断点时，亦有FT00DSTFSFTFE0STSTFE（59）但是，此时，。因此，在用拉氏变换方0|TF0|TT法解微分方程时，积分下限宜取零负，以便于处理初值问题，豁免从零负求零正之苦难。后续讨论拉氏变换微分性质，即可进一步理解此良苦用心52性质（信号与系统第二版（郑君里）43）代数性质线性11NNIIIFTFTLL（510）卷积1212FTFS（511）图52像卷积（S域卷积）1212JDFTFSZSZL（512）乘2FT1FT12FT图53拓扑性质（微/积分性质）微分此处容易混淆，各版本书叙述不一样，务必提高警惕00TTFSFFL（513）证明DFT00D0|STSTSTFEFEFFEF注1由（59）式易知，上式兰色项相等；因此，只需式中红色的零负与零正分别对应即可，而不管信号在零点是否有跳变注2对于因果信号，有，则，FPFTSLPJS三者的作用等价，即。此时，积分下限可以是PJTSF0、0、0均可，象函数完全相同，即D00FTSFSFFL（514）此时，更有2PPFTFTL0SF2SFF（515）特别地，当时，有1,0NFPNNFTSF（516）积分T11D0PFFTFSFLL（517）01FF证明00DPTFTFFLL10TFUTF0DTFS第二项0TSTFE0011DDTSSTEFFES1FS1PFTFFSL像微分（S域微分）DPTFS（518）像积分S1DFTFZL（519）证明SS0DZTFZEFDZTSFT011TFEFTL其他性质平移（延时）000STFTUTEFTLL（520）图54口诀时延负旋转。像平移（调制）TFEFSL（521）口诀正旋转频移。例已知，则有1UTS00JJ01CO2TTTTUTELL200012JJSS（522）相似（尺度变换）1,SFATFAL（523）初值定理若存在，存在，则FTFTL0LIMLITSF（524）证明110DSTSFFFTFELLILI0STSS注1，半径无穷大的圆上所有点R平面无穷远，点极黎曼球面的北极。N，四点除外。2AES,所以，两点除外。0,STEA当时，N北极J注2若在T0处有跳变，可有F0FF0000DDSTSTSTTTSTSFFEEFEFEL取极限有0LIMLIMDSTSSFFE即0FF注3若在T0有冲激，则1FTKTF，1FSKS1LISFF终值定理若存在，存在，在除TLFTLSF原点外的（右半闭平面）解析（相当与实变函数的光滑），则R0LIMLITSFF（525）证明10DSTSFFFE0LILISTSS0DFFTF注1）应用图56希望输出能够再现输入，即LIM0TYVTE为稳态误差系统误差。00LIMLI1SSVEEWS2）（慢变信号）J0必3）图57定理的条件在除原点外的解析。SFR，虚轴上有共轭极点，不满足定理条件。020COSUTT，虚轴上有共轭极点，不满足定理条件。002SINTTS，右半平面有一极点，不满足定理条件。1TEU，53拉普拉斯逆变换（信号与系统第二版（郑君里）44）极点、零点NSFSFTDL的极点；当与互素时，即的零点。IIPFDIPS的零点；当与互素时，即的零点。FS0IIZNIZN已知，求FT，（最右边极J1D2STFTSFEL0MAXREIP点）图58J1DDD2RRSTSTSTCCFTFEEFEJSTSTR1D2JSTCFEESISTPIUT（526）注1），左半平面；RC，2）充要条件1D02JRSTCFE（527）3），若，则（527）式成立；NSFDDEGD4）是全纯（解析）函数；STE5）当不是有理函数时，需考察F1D02JSTCRFE6）当为的一阶极点，IPS0INSPDSREIIPTTISFFEUT（528）7）当为的R阶极点，IPS0RINSPS1DREIIRRPTSTIPFFEUTS（529）8），NSDEGDQ，0FSCS0S00QIIND00RESIQISTIIPNFTCTUTD（530）例（书例412），求。321SFFT解01RESRESTSTFT23102D1STSTE2TTTEU部分分式展开，NSFDDEGD11RRNNSFSPP阶，一阶1RN11IIIIRCSSPP，REIISF,N1111RRSPSPF，I1,2,R111DRIRISPCI111IRNPTTIIIRFTCEUCEU（531）54系统函数（信号与系统第二版（郑君里）46，47）问题的提出输入，求VT,IOTYT输入，求I图59输入/输出图510为系统的冲击响应HT系统函数HSHTL（532）图511YSHXS零状态响应11YTYSHSXL（533）系统的几种描述形式图512PYTHXTSHLYXS，收敛域P|SHS形式DT注若写为，则表示微分算子；YTXT但不能写作。YS系统的多种输入输出描述冲击响应系统算子系统函数微分方程描述HTPHS零状态响应零状态响应非零状态响应零、极点与的波形特征HST，与互素，NSHDDEGND11RRNSSPP11RNIIIIRCSPSP11IRNTTIIIRHTHSEUL（534）注1）线性无关，与极点有关，称为模态。11,NRPTPTTPTTREE2）决定于的零极点分布。11,RNCCS3）是的实系数有理函数，对于中的共轭对HSIP，10210JJPAPA、2SINTEUT与共同产生输出4）对，若，模态渐近于0，HSILPRIPITPE是一阶极点，模态单调渐近于0IITE是重极点，模态当时单调渐近于011PTMT5）若，即极点在虚轴上，有两种情况RE0IP图513虚轴上的共轭极点对应单边正弦1002SINTUSL原点处的单重极点对应单位阶跃1T一阶，模态等幅；JIP0SINTU二阶，模态线性增幅。I6）若，模态发散。IRREI图514虚轴附近的极点所决定的模态是慢变的，起支配作用。零极分布与响应YSHVS图515RESRESIJSTSTZSHPVPIJYTYY极点极点自由响应强迫响应零输入响应自由响应，与极点有关，与零点无关；SHS瞬态响应在上极点贡献渐近于0，YSLT稳态响应在上极点贡献R快变响应远离虚轴极点贡献慢变响应虚轴附近极点贡献55线性定常系统频率响应（信号与系统第二版（郑君里）48）正弦稳态响应、特征函数图51600J00RESRES1ISTSTZSPHPISTJYTYYJHJ极点因此，称为正弦稳态响应。JTSYTE00J0JJ|SJTSYTHE00JJTSTYTTEEH（535）注1）对矩阵，为特征向量，为属于ANR，的特征根。对应（535）式有为特征函数，为系统针对输入特0JTE0JH征函数的特征根谱。2）0COSVTAT00JSYTH（536）0SINVTT00JSYTA（537）频率响应输入频率变化的单频信号时输出的响应。当跑遍时，即系统的频率响应（谱）。0,JH，JJHE其中，为系统的幅频特性（响应），幅度谱；BIBO稳定0为系统的相频特性（响应），相位谱。BIBO稳定系统的传递函数等价性系统BIBO稳定DLHTHS极点（538）此时，JJ|STHF反例（积分器）TFDFUTH积分器的单位冲激响应为1H