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CHAPTER1ANINTRODUCTIONTOLINEAREQUATIONSINLINEARALGTHEMAINPROBEMOFTHISCHAPTERISTOFINDTHELINEARSOLUTIONOFALINEARSYSTEMUSINGROWOPERATIONEXAMPLETOFINDTHESOLUTIONOF3451234125012XXXXSOLUTIONWEDENOTETHELINEARSYSTEMASAMATRIXEQUATION,ISTHEFOLLOWINGAXAUGMENTEDMATRIX1242134132,01/20012/0/011/200/RRRR/20THESOLUTIONSOFTHESYSTEMARE1241243355XXXAREFREEPARAMETERSOR112232451XKXK12,123124500/XKXANOTE1WECHANGEDTHEAUGMENTEDMATRIXTOREDUCEDECHELONFORMANDFINDTHESOLUTION2THEWAYTOWRITETHESOLUTIONISNOTUNIQUE,BUTFORTHISEXAMPLE,THESOLUTIONIFALWAYSOFTHEFORM,ANDISASOLUTIONOF,ARE012XK0XA12LINEARLYINDEPENDENTSOLUTIONSOFA3,THENUMBEROFTHEINDETERMINATESIS53RANKAR4INGENERAL,FORANYLINEARSYSTEM,ITHASATLEASTONESOLUTIONIFANDONLYIF,INTHISCASETHESOLUTIONCANBEWRITEASRRWHERE,ANDISTHENUMBEROFTHE01NRXKRANKAINDETERMINATESWHATIFIFISSQUARE,INWHICHCASEHASAUNIQUEXSOLUTIONWHATIFISANINVERTIBLEMATRIXA5WECANALSOWRITETHELINEARSYSTEMASAVECTOREQUATION,WHERE15X1234501/20,/CHAPTER2MATRIXALGEBRATHEMAINPROBLEMSINTHISCHAPTERARETOFINDTHESOLUTIONTOTHEMATRIXEQUATIONANDTHEINVERTIBLEMATRIXTHEOREMAXB1IF,ISTHESOLUTIONOF0ROWPEATINSBIAXB2THEINVERTIBLEMATRIXTHEOREMP129ANDMOREEQUIVALENTSTATEMENTSFORAMATRIXTOBEINVERTIBLECOLA,DIMCOLAN,DIMNULA0NRCHAPTER3DETERMINANTSTHEMAINPROBLEMINTHISCHAPTER1HOWTOCOMPUTETHEDETERMINANT1EXPANSIONACROSSANYROWORDOWNANYCOLUMNACROSSITHROW1DETDETNIJIJJAAADOWNJTHCOLUMN1TTNIJIJI2ROWOPERATIONSANDDETERMINANTSREPLACEMENTPRESERVESTHEDETERMINANTINTERCHANGECHANGESTHESIGNOFTHEDETERMINANTTHECOMMONFACTOROFAROWCANBEFACTOROUTOFTHEDETERMINANT3EXAMPLES,123012NANIMPORTANTEXAMPLE,TO123211123NJIIJNNNNAAXCOMPUTEIT3THEOREMAMATRIXISINVERTIBLEIFFDET0A2GRAMERSRULEIFISINVERTIBLE,THEUNIQUESOLUTIONOFISGIVENBYXDET/TIIXCHAPTER4VECTORSPACESWEJUSTNEEDTHEFOLLOWINGTHINGS1THEDEFINITIONOFVECTORSPACEANDTHESIMPLEPROPERTIESWECALLTHEELEMENTSOFTHESETAVECTORBUTITMAYNOTBETHEVECTORINNR2EXAMPLESOFVECTORSPACE,POLYNOMIALSOFDEGREELESSNRXTHANTN3ANONTRIVIALEXAMPLEOVER,KAABA4THEOREMLE
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