【毕业论文】泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用

学号12509013011学年论文（2012级本科）题目泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用学院数学与统计学院专业数学与应用数学作者姓名柴丽娜指导教师李劲职称教授完成日期2014年12月20日二一四年十二月泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用柴丽娜指导教师李劲（河西学院数学与应用数学专业2012级3班1250901301号,甘肃张掖734000）摘要二项分布、POISSON分布与指数分布是概率统计的基础,这3个分布存在密切的关系本文将通过极限分布的方法讨论二项分布、泊松分布和正态分布三者之间的关系,进一步揭示它们之间的内在联系,并给出有关近似计算公式和应用实例关键字泊松分布；二项分布；正态分布；特征函数中图分类号O2111引言许多数学教材中常常只是介绍了二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等重要的概率分布,给出它们的分布列、密度函数、它们的期望和方差,但是很少讨论出这些分布之间的关系在学习概率统计等时,常常认为这些重要概率分布之间没有什么联系,但是这些分布中间还有很多重要的关系本文将通过极限分布的方法讨论二项分布、泊松分布和正态分布三者之间的关系,进一步揭示它们之间的内在联系,并给出有关近似计算公式和应用实例2预备知识21相关定义定义（二项分布）1在N重伯努利试验中,每次试验中事件A发生的概率为P（0P1）,记X为N次试验中事件A发生的次数,则X的可能取值为0,1,2,N且对每一个K,0KN,事件XK即为“在N次试验中事件A恰好发生K次”,根据伯努利概型,有PXK,K0,1,2,N（1）1NKKNCP一般地,如果一个随机变量X的概率分布由（1）给出,则称X服从参数为N,P的二项分布,并记作,且记XBNP,1NKKNBPP定义（泊松（POISSON）分布）12如果一个随机变量X的概率分布为（2）0,12KPE其中为参数,则称X服从参数为的泊松分布,记作0XP定义正态分布13一个连续性随机变量X,如果其密度函数为（3）21（X）XEX其中,为常数,则称X服从参数为和的正态分布,记作此时002,XN称X为正态变量特别地,若,则称X服从标准正态分布,其概率密度函数2N0，10，1为2（X）XE,定义特征函数24若随机变量X的分布函数为FX,则称（4）ITXITWITXTEEPDEF为X的特征函数如果F（X）有密度FX,则就是FX的FOURIER变换TITXEF22相关定理定理特征函数的一个重要定理（唯一性定理）分布函数由其特征函数唯一确定31证明设A是FX的一切连续点的集合,对任意的,由逆转公式有XALIMYAFXXFY1LI2JTYJTXTYAED所以,对于一切,的值唯一的由其特征函数所决定XAFT若,利用分布函数的右连续性,选一列单调下降的趋于X的的连续点,则F12X有1LIMLIMLI2NNJTYJTXTNXXYAAEFD于是,对于一切的,的值亦唯一的由其特征函数所决定T23相关结论结论1二项分布B（N,P）其概率分布为1KNKNPXPC0,12,1NP其特征函数为0KITXITNKXNKTEE01NITKNKKPEITN结论2泊松分布设,则其概率分布为XKEP0,12,K其特征函数为0KITXITXXKETEE结论3正态分布其密度函数为,N21（X）XEX其特征函数为21ITITXXTEE10ITITITEEK3主要结论及证明（三大分布之间的关系）31二项分布与泊松分布的关系（二项分布的POISSON逼近）定理1二项分布XBN,P,如果N很大,而P很小,设,N为任意的正整数,0,则对于任意给定的一个非负整数K,有NPLIM1KNKNNEPC证明由NP111KNKNKKNPKCN21KNK当固定,NK121,NKKENN故有LIMKKNPC所以当N很大时,P很小时有下列近似公式1KKNNE32二项分布和正态分布之间的关系定理设随机变量,则对于任意X,有,0,2NXBP21LIM1TXNNEDX由上式可以得出当N充分大时,二项分布可以用正态分布来近似,即二项分布的正态逼近例和在N充分大时计算KNKNNPXPCKNNABPAXPQC非常困难由于近似服从N（0,1）或等价地近似服从,于是可以近1NPN,1N似地用正态分布来计算上述概率,即1KNKNNPXP22PNQE1KP111NNAXPBNPAXBPNPPAP只要查一下标准正态分布表就可以得到的相当精确的值NPAXB33泊松分布与正态分布之间的关系二项分布可以用泊松分布近似,也可以用正态分布近似所以泊松分布和正态分布在一定条件下也有近似关系,下面说明泊松分布的正态分布定理设,泊松分布的分布函数与正态分布0XKXEPX的分布函数是近似相等的N（，）212YXEDF证明根据特征函数的唯一性定理可以得出分布函数和恒等的充分必要条1FX2件是他们的特征函数和恒等1X2已知正态分布的特征函数是,N21ITITXXTEE泊松分布的特征函数是1ITITET对于任意的T,的幂级数展开为ITE,231ITTIE忽略以后的各项,则有3T,21ITTE于是2ITTEI21ITTIE根据唯一性定理可知,泊松分布的分布函数与正态分布的分布函数KXEPX近似相等212YXEDF4初步应用例1某大城市有一个繁忙的交通岗,若每天有100000人通过,每人出事故的概率为00001,求该天事故的人数X不超过2人的概率解法一由题意可以知道,由二项分布可以得101B，769P解法二用泊松分布近似二项分布即将数据代入1KKNNEPC可以得到1022769KEPX解法三用正态分布的分布函数近似二项分布即将数据代入11NBNPANPA可以得到253605PX这里直接查标准正态分布的分布函数表求得,其误差为000224151,这比用泊松分布产生的误差要大例2同类型仪器300台,各仪器的工作相互独立,且发生故障的概率为001,通常一台仪器的故障可有一个人来排除问（1）至少配备多少维修工人,才能保证当仪器发生故障又不能及时排除的概率小于001（2）若一个人包干20台仪器,求仪器发生故障又不能及时排除的概率解设300台仪器中在同一时刻发生故障的仪器台数为X,则XB300,001设X表示发生故障的仪器台数,假若至少要配备X个工人,则按题意有PXX001,即3030119XKKKPXC此时用泊松定理则可以容易计算1有,301NP,30KXEPX查询泊松分布表即可以得到X82记X为20台仪器中在同一时刻发生故障的仪器台数,则XB20,001212PX202019KKKC21753E致谢感谢李劲老师对本论文的指导参考文献1马统一经济应用数学概率论与数理统计M北京高等教育出版社,201257652张波,商豪应用随机过程M第二版北京中国人民大学出版社,201313153田铮,秦超英随机过程与应用M北京科学出版社,200714214苏淳,刘杰现代极限理论及其在随机结构中的应用M北京高等教育出版社,2010455李裕奇,李玉红随机过程M北京国防工业出版社,200556656梁好翠三种重要概率分布的关系及其应用J钦州学院学报,2007,第22卷第3期9117段勇花概率中伯努利试验问题的解决策略J西安文理学院学报,2012,上旬刊77788周桂如概率分布及其应用的研究J赤峰学院学报,2008,第24卷第4期13149于洋浅析二项分布、泊松分和正态分布之间的关系J企业科技与发展,2008,第20期10811010朱冬梅谈概率论中三种重要的分布J开封教育学院学报,2003,第23卷第4期