《信号与系统》-第八章-z变换与离散系统z域分析

第八章变换Z81定义、收敛域（信号与系统第二版（郑君里）81，82，83）定义（变换）Z序列的双边变换XNZNNXZXXZ（81）序列的单边变换XN0NNZXZZ（82）注1）双边10NNNNXZXZXZXZ（83）为LAURENT级数，其中，是LAURENT级数的正则部，1NN是主部。0NNXZ2）是复平面上的一点图813）对因果序列单边变换双边变换。Z定义（逆变换）对双边变换NNXZXZ1CD2JMZXZ1CD2JMNNZXZ1JNNX由CAUCHY定理，有1C,D02JMNNZ（84）其中，C为包围原点的闭曲线，1CD2JMXZXZ上式定义11CJNXZZXZZ（85）注（84）的求解，则有JREJDRE2110C20D2JJ0JMNMNJJNZDREN，图82柯西定理证明示意图收敛域定义（收敛域）对有界，使的XNNNXZXZ一致的集合。Z判别方法，为充分条件NNXZXZ（86）00C1D2JFZFZ令，有两种判别级数收敛的方法。NNAXZ达兰贝尔方法1LIMNA（87）柯西方法LINA（88）若，则收敛；1若，则发散；若，则不定。序列的分类与收敛域右边序列1,XN，（89）1NNXZZ（810）1LIMLINNXX1LINXZR（811）为圆的外部。83因果序列收敛域110XNRZ，（812）11X，（813）左边序列2,XNN，（814）12NNNXZZXZ（815）LIM1N2XNZXR（816）为圆的内部。220XZ，（817）22XNR，（818）双边序列,XN，（819）10NNNXZZXZ右边序列左边序列（820）右边序列，左边序列，若则为环状收1XZR2XZR12X敛域，则无公共收敛域。12X图84双边序列收敛域典型序列变换Z单位样值函数10NZZ，即全平面解析（821）单位阶跃函数10NUZZ，（822）斜升函数201NZNZ，Z（823）指数函数（右边）1NZAUAZA，（824）注因式分解求变换的基础与变换不同，1ZL而TESLNZUA复指数函数00JJ1NZE，（825）指数函数（左边，逆因果序列）NZAUAZ，1（826）82变换计算方法（信号与系统第二版（郑君里）84）1Z留数方法NNXZXZ10NRLNXXZ（827）图85双边序列收敛域中的围线C11D2JNXNXZZXZZ111D2JJRES1IJNRLCCNPILJZUZXN极点极点（右边）（左边）（828）注1）（正）包围逆时针方向走，极点在围线的左侧；负包围逆时针方向走，极点都在围线的右侧。2）若的极点为阶，则1NZXMZR11DRES|MMRRNNZZZXZ当时，R11S|MNNMZZ（与LT逆变换类似）例32105ZX，求XN解右边序列；XNU3212105NNZZXZ0随着N的取值不同分别是二阶、一阶极点，或不是极点。当时，极点为21205Z、33221051205NNZZZZXU813052NU当时，极点为N134050ZZ、Z3Z40为二阶极点，其留数6，可求得008356XN当时，有三个一阶极点1N1NZX12305ZZ、可求得X综上，有3583NNU长除法略。部分分式展开法类似拉氏变换，Z变换亦有其基本单元111NZAUAZZZ（829）由于基本单元分子中含有因子Z，因此应该对作部分分式展开1XZ，这样才能使符合基本单元的形式。0KMXZAZ0KMAZXZ其中RESRESMMMMMZXZZZ是的极点；系数为显然，0000ZXZXZA是的极点；例212155ZZZ求，1），2），3）XN051Z解12105AXZBZ22051ABZ图86XZ/Z的零极点1）Z00RES|2ZZB1059ZXA21RES8Z905NXNU2）05Z128BA，90518NXNUN3）05Z1228BA，9051NXNUN83变换性质（信号与系统第二版（郑君里）85）Z线性性质11NNIIIXXZZ（830）位移用移位前序列的变换表示移位后序列的变换。双边变换移位性质MMXNZXNZXZZ（831）收敛域Z注1），右移（延迟）步；，左移（导前）步。0M02）引入步延迟算子MZXNMZXZ（832）因果序列右移的变换性质XNXUNZMXZ（833）因果序列左移的Z变换纳入下列性质。双边序列左/右移的单边变换XNUXZ左移性质10MKKMNZXXZZ（834）直观分析左移M后，单边Z变换应该从序列的XM项开始。而原序列单边Z变换XZ是从X0项开始的，因此需要减掉。口诀左移项少须减掉。右移性质1MKKMXNUZXXZ（835）直观分析右移M后，单边Z变换应该从序列的XM项开始。而原序列单边Z变换XZ是从X0项开始的，因此需要把这M项加上。口诀右移项多须外扩。线性加权Z域微分DNXZXZ（836）口诀线性加权慢，微分负号Z相伴。思考题序列线性加权后，收敛域是否变化指数加权Z域尺度变换NZAXXAZ（837）口诀征集中。初值定理若为因果序列，则XN0LIMZXX（838）终值定理若为因果序列，在单位圆上/外解析（在单XN1位圆上，可有的任意阶极点），则XZ11LIMLINZXXZ（839）证明是因果序列，则。X0NNXZ由序列左移后的单边变换性质有，于是10XZXZ0110111LIMLIM0LI0LINNNZZNZZXZXXXXXZXXXX即取极限得Z例1单位阶跃序列XNU1X在Z处有一阶极点，单位圆上其它点及圆外解析，因此有例2指数序列。010NXAX，则例3指数序列，则不宜U，ZA单位圆外有极点用终值定理。例4斜变序列，显然。由终值定理验证XNX，亦为无穷大。2111LIMLILIMZZZXX例50002COSCOSCOS1ZXNUNUN，Z事00IZJ两个极点为，在单位圆上，故不能用终值定理。实上，序列一直振荡，终值不确定。卷积定理，则HHNZXZXNZXHZ（840）收敛域两个Z变换收敛域的公共部分。零极点相消可扩大收敛域。卷积定理可用于在Z域求解，然后逆变换得到时域卷积的结果。此外，还可以用于求反卷积。域卷积定理序列乘积的Z变换Z11CD2JXNHXHV21JZXZ（841）C1为C2相同。ZXHV与的公共收敛域内逆时针旋转的围线。收敛域由的收敛域。12121XXHHRZXHVV确定即12XHXHRZ若令，常数，常数，则，则有JJVEZR，RJDVE2JJCRXNHXEHZ（842）JJ1D2RXEH上式即为的卷积。可见（841）式定义之合理性。JJXE与PASERVAL定理1C1D2JNXHXZZ（843）证明1CD2JNNZVHVZ令Z1，1C1JNXHX得到定理公式。V注1）条件收敛域含单位圆，可以令Z1。,XZH2）单位圆的表示，取式中为单位圆，则有J1TZE。JDTZE3）内积不变性T由，则（843）式化为JJD2TTNXHXEH（844）4）能量不变性取，则NX22JDTNE（845）84变换与变换的关系（信号与系统第二版（郑君里）86）ZL的关系ZS物理延迟（A）（B）（C）图87物理延迟的表示（A）时域、（B）S域、（C）Z域表示形式相等1LNSTZEZ（846）0STNXTTXT为采样间隔2ST0SNTSSNXXTEL0NNZTXZZ1LN|SZTX形式NSSTZEEST，J2JJTJSSZREJ2SSNZESZN（847）周期为。SS平面到Z平面的映射关系如下SZ多1虚轴单位圆，周期为0S左半开平面单位圆内Z右半开平面单位圆外1图88S平面到Z平面的映射关系采样序列变换与原信号的变换的关系ZL图89XZSSTXTT01RE0NSSTESL，其中2JSSSTXXTX（）J11D2SPTE注1）是稳定信号的极点XTXL2）的收敛域，1SPTERE0ERSPPSOJ2SS2SSREZJIMZO11JJ（）式化为J11D2SPTXE1DJ2J1SPTSPTCRCRXE（上式第三项为零）1D2JSPTXE为有理函数，1RESISPTIXPE的极点1IIPTIPZ一阶极点与上式结果相同。1LN|SZTXZXNZ例JJAP11RESJIJJPTPTIJAXZZZE85变换解差分方程（信号与系统第二版（郑君里）87）Z00NMKRAYNBXN（848）00KRZZ00NMKRAYNBXN1100KLRMLKRRZYZZXZ（849）可直接带入初值求，并求逆变换得。YN如果因果序列输入，且零状态，则有0XN，0