三线摆不等长转动的非线性运动特性探究

图1三线摆实验装置示意图图2三线摆原理图三线摆不等长转动的非线性运动特性探究季琳莉蒋莎马茜重庆交通大学重庆400074摘要由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。关键词三线摆；转动惯量；转轴；夹角。图1是三线摆实验装置示意图。三线摆是由上、下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系线点构成等边三角形，下盘处于悬挂状态，并可绕OO轴线作扭转摆动，称为摆盘。由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。设下圆盘质量为0M，当它绕OO扭转的最大角位移为O时，圆盘的中心位置升高H，这时圆盘的动能全部转变为重力势能，有GEP0（为重力加速度）当下盘重新回到平衡位置时，重心降到最低点，这时最大角速度为0，重力势能被全部转变为动能，有201IK式中0I是下圆盘对于通过其重心且垂直于盘面的OO轴的转动惯量。如果忽略摩擦力，根据机械能守恒定律可得2001IGHM（321）设悬线长度为L，下圆盘悬线距圆心为R0，当下圆盘转过一角度0时，从上圆盘B点作下圆盘垂线，与升高H前、后下圆盘分别交于C和C1，如图322所示，则1221BCBCH2222RRA10210SIN4COS2BCRBCRRH在扭转角0很小，摆长L很长时，SIN20，而BCBC12H，其中H2RR（H为上下两盘之间的垂直距离）则H20（322）由于下盘的扭转角度0很小（一般在5度以内），摆动可看作是简谐振动。则圆盘的角位移与时间的关系是TT02SIN式中，是圆盘在时间T时的角位移，0是角振幅，2004THGRRMI是振动周期，若认为振动初位相是零，则角速度为TTDT002COS经过平衡位置时T0,23,10的最大角速度为00T（323）将（322）、（323）式代入（321）式可得2004HGRRMI（324）现在我们改变三线的长度，使其下圆盘不水平，其计算公式也如上列的算法一样得出2004THGRRMI但此时我们有两个变量改变了，一个是H,一个是，现在我们先讨论H，三线中两现相等的情况，这里设两线相等的线是L1,另一条不等的线的长度是L1,底盘与水平面的夹角为，下圆盘的悬挂点间的距离为A，可以得到以下的公式CO12121ABC首先要得到HHRL12RL1COS（90），（1）A是未知数，现在计算A的值TAN32L得ARCTAN12A（2）代（2）到（1）得HRL12RLSIN（）32ARCTN1L又由于2004TGRRMI得32SINARCT24111000LRLI现在我们在来讨论三线不等的情况三线分别是L1、L2、L3得到公式3ARC2LSINRT2RL4GM1100I一、先对周期进行讨论当三线相等的时候，周期为当有两线相等，一线不等的时候，周期为T（510）0T、T2（1392）；当三线都不相等的时候，周期为T3。（1、2此角度是指下圆盘与水平面的角度。）实验数据如下周期角度123456平均值0T0162“165“164“163“159“161“162“T510163“163“163“163“164“163“1632“T21392164“165“161“163“162“164“1632“T31498162“163“160“161“162“160“1613“根据以上实验数据，除去一小部分的实验误差，可以得出以下结论当三线不论相等还是不相等的时候，无论角度怎么变化，平均摆动周期都没有太大的变化，除去误差的影响，我们可以认为，此时的周期不变，是一个定值，因此排除周期变量的影响。二、在对H进行讨论根据理论里的公式，我们可以得出以下数据1、当三线相等时，下圆盘与水平面的夹角是0,测得数据序号转动惯量123456平均值HI000022840002366000233200023300002206000224700022945569CM2、当其中两线相等时1、下圆盘与水平面的夹角是510，测得数据序号转动123456平均值H惯量I100022840002277000227200022780002316000227600022845650CM2、下圆盘与水平面的夹角是1392，测得数据序号转动惯量123456平均值HI200022780002311000220400022580002237000228800022635710CM3、当三线都不等时，下圆盘与水平面的夹角是1498，测得数据序号转动惯量123456平均值HI300022300002262000217200022140002238000219600022195693CM这里，我们进一步、深刻的来讨论一下H的问题，在教科书上我们看到这样一段话，转动惯量只与刚体的质量M、与质量的分布、与转轴的位置有关。而H并不是上面三个因素中的一个，那么，我们所看到的H就只是一个表面现象而已，其实真正改变的是上述三个因素之一。由下图，我们可以发现，下圆盘的转轴是一直没有变的，一直是垂直于下圆盘的，而这时的H与转轴就有了一定的角度，我们设这个角度是，又由数学的几何关系，我们可以推导出（下圆盘与水平面间的夹角，H于转轴的角度为）而三线相等的时候，H于转轴是重合的，下圆盘与水平面的夹角以及H于转轴间的角度是相同的都等于0。由以上的数据可以看出，三线不等导致了下圆盘与水平盘的角度不同，H与转轴的夹角导致了转动惯量也随着变化，但比较了一下2，3组的数据，我们发现2，3组数据的转动惯量