热力学统计物理-第六章 近独立粒子的最概然分布

第六章近独立粒子的最概然分布61试根据式（6213）证明在体积V内，在到的能量范围内，D三维自由粒子的量子态数为1323DDDMH解式（6213）给出，在体积内，在到到3VLXPD,XYP到的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为D,YXPDXP（1）3DXYZVPH用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在到范围内三维自由粒子可能的量子态数为P（2）234DPH上式可以理解为将空间体积元（体积V，动量球壳）除以相V24DP格大小而得到的状态数3H自由粒子的能量动量关系为2PM因此2,DP将上式代入式（2），即得在体积V内，在到的能量范围内，三维自由D粒子的量子态数为（3）1323DDMH62试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在到的能量范D围内，量子态数为12DDMDH解根据式（6214），一维自由粒子在空间体积元内可能的量子DXP态数为DXPH在长度L内，动量大小在到范围内（注意动量可以有正负两个可能的P方向）的量子态数为（1）2DLPH将能量动量关系2M代入，即得（2）12DDLDH63试证明，对于二维的自由粒子，在面积内，在到的能量2D范围内，量子态数为2LDDMH解根据式（6214），二维自由粒子在空间体积元内的量子DXYP态数为（1）21DXYPH用二维动量空间的极坐标描述粒子的动量，与的关系为,P,XYPCOS,INXYP用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为D在面积内，动量大小在到范围内，动量方向在到范围内，2LPD二维自由粒子可能的状态数为（2）2DLPH对积分，从0积分到，有D220D可得在面积内，动量大小在到范围内（动量方向任意），二维自由2LP粒子可能的状态数为（3）2DLPH将能量动量关系2M代入，即有（4）2DLDH64在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为CP试求在体积V内，在到的能量范围内三维粒子的量子态数解式（6216）已给出在体积V内，动量大小在到范围内三维自PD由粒子可能的状态数为（1）234DPH将极端相对论粒子的能量动量关系C代入，可得在体积V内，在到的能量范围内，极端相对论粒子的量子D态数为（2）234VDCH65设系统含有两种粒子，其粒子数分别为和粒子间的相互作N用很弱，可以看作是近独立的假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为LLLAE和,LLLAE其中和是两种粒子的能级，和是能级的简并度LLLL解当系统含有两种粒子，其粒子数分别为和，总能量为E，体积N为V时，两种粒子的分布和必须满足条件LAL（1）,LLLLAE才有可能实现在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布和时各自的微观状态数为LAL（2）,LLALLALLN系统的微观状态数为0（3）0平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使或为极00IN大的分布利用斯特令公式，由式（3）可得0INLLNLLNLLN,LLNANA为求使为极大的分布，令和各有和的变化，将因而有0LLLLL0的变化使为极大的分布和必使N0LLAL0N,即0LNLL0LLLLAA但这些和不完全是独立的，它们必须满足条件LAL0,LLLLNAE用拉氏乘子和分别乘这三个式子并从中减去，得,0N0LNL0LLLLLLNEAAA根据拉氏乘子法原理，每个和的系数都等于零，所以得LALN0,L,LLL即（4）LLLLLLAE拉氏乘子和由条件（1）确定式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳,兹曼分布两个分布的和可以不同，但有共同的原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数和能量E具有确定值，这意味着在相互作用中,N两种粒子可以交换能量，但不会相互转化从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的66同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何解当系统含有个玻色子，个费米子，总能量为E，体积为V时，N粒子的分布和必须满足条件LAL,LLAN（1）LLAE才有可能实现玻色子处在分布，费米子处在分布时，其微观状态数分别为LALA1,LLLLA系统的微观状态数为0（3）0平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使或为极大00LN的分布将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得0LNLNLNLLLLLLLLLAA令各和有和的变化，将因而有的变化，使用权为LALLLA000LN极大的分布和必使LL0LN,即0LLNLNLLLLLLAA但这此致和不完全是独立的，它们必须满足条件LAL0,LLLLNAE用拉氏乘子和分别乘这三个式子并从中减去，得,0N0LNLL0LLLLLLLLL