线性代数-试卷1-6答

线性代数参考题一答案填空题每小题3分,满分30分1与；2；3；4可逆阵或满秩阵或非奇异阵；42A4321AB21EA5特征根为0；6；7；8；9负定；10TRA3R25T一陈治中版线性代数例题157（P26）答案NNBCADD2二令130,512,3412CBA则25,2,1511X三令，则,4321A031310620,4321因而，构成一个极大无关组，且AR321,3214四陈治中版线性代数习题46（P121）答案P211五将二次型化成矩阵F，显然为实对称阵，可以正交对角化的，即21A由特征方程，得，0|EA13,2当对应的特征向量为，标准化为；01TT1,31当对应的特征向量为和3,20,20,3正交化，标准化为T,12T2，标准化T1,2233T1,23因而，且,31P23YF六令LNNN321321213211由以及线性无关得线性无关。1|LN,1N,1七由已知有及，显然有特征根分别为0和0|A1,20|NIIEA。故此可对角化。,2IIA线性代数参考题二答案310938721,65483212KE线性无关一NINNINNNIBABABABA1212210D二6028162146041270214X三431421,307510325162或极大无关组秩为四01021252011585334201ABABAB五TTTKKBA1,020,120,1,13,2通解为有无穷多解且唯一解为任何值时无解时当3,0321212AEA六当TX,0101321当TT1,00,1332322，T1,0,32正交化单位化得正交矩阵62031P所以得到标准型2YF线性无关所以由等价的向量组秩相等等价与向量组线性表示可由即可逆设七43214321432143214321143214321,011,PP1210,000,1NANANIIEEAII相似于对角阵所以特征向量个线性无关有故个不同的特征值有所以方阵即均不可逆与因为方阵八线性代数参考题三答案019438765143261NRAEN相关正交一二1）；2）；3）；1N6502181A101AA4）10,10,11CBA5）21EAPEP三3004132103062421秩为,42此向量组线性相关一个极大无关组为四012,13102AA计算各阶顺序主子式23正定由正定的充要条件A五特征根为2,321当，当，TTPP0,1,1TP1,233故,32PP线性代数参考题四答案3105964817283261543312KXXXRNBRMN相关一20101YXYXYX原式二2013,2EABEAB则可逆又三四543521421,30021360142573或或极大无关组为秩为83205421,无解时有唯一解且即时当五KKAKTTTKX1,30,4,0,4416,非齐次通解为；齐次通解特解时0,909213212得，令，六EAATTP3,1,1,91，TTTP53,42,051,25,44,03223232标准化正交化1319,YFPYXP，所以标准型为，且,同的特征值由定理知相似矩阵有相相似与，七BAAB,21,001,0211221121线性无关表示不能由，得代入线性表示可由又设八LMIKKKLKLLLKMIIIMM线性代数参考题五答案1092,1827621,504237651AKAKAT一二0021361NNNRDIN52031400,122EABEAEAB三2,056210311345614253BABAAR四五；321,一个极大无关组为秩为01,11122全不为下面证明。使的存在不全为线性相关证明六NIKKKANNN01,0121111全不为与已知矛盾个向量均无关任意则若某NIKAKANINIIITTTPPP31,62,1,021,532132八且PYXP312315YYF是一个非零解七KNKAXEARNR,21线性代数参考题六答案一填空题答案11；2；3；4线性相关；BA1BEAAC,1,2,K5；61；7；8；9；10202BA32KA5T二居余马线性代数12例8P17将按第一行展开，得ND21110NNNNNABDBABAD阶递推公式改写为12211ADN而，于是有，整理得22NN121232211,BBADBNNN将上述等式两端分别乘以，然后再相加，得到2,ABDAN即得，整理得NNNNN1211BABNN,1三由于，再由已知得，TTTTTBCBCECBE11，再由可得到12301TEEX12301X四令，则对其进行行的初等变换有,543A，由得，其中一个极大2036111345620BABA2AR2,0BA无关组为2,五由以及知必为奇异阵，即（否则若为非奇异阵，必有OBA|A，此与矛盾），而0RAR，得1510452132|KKKA1六设此实二次型对应的矩阵为，则有A，令得特征根为、。3200|E1253当时，特征向量为，标准化得；1T1,21T,31当时，特征向量为，标准化得；222当时，特征向量为，标准化