高等数学-微积分12下4

第四节多元复合函数求导法则一、复合函数。定义设函数是、的二元函数它的定ZUVVUFZ,义域为。而、又都是、的二元函数DXY，并且当某区域上取值VYXU,E时，对应的在上，于是可复合成函数UYXYFZ,其定义为。E二、复合函数求导法则定理1如果在点处有偏YXVYXU,YX,导数，而在对应的点处有连续偏导数，则VFZ,U复合函数在点处有偏导数和YXYF,YX,XZ，并且有YZ，。XVFUFXYVFUFYZ证明YXFYXYXFZ,YF,VUFVU,又因为在点有连续的偏导数，因此在点可F,VU,微。所以VUVZUZYXYXZYXYX,其中时，。0,V0,当时（即固定）YYXYVZXYUZXXX,LIM,LIM00要注意到，此时有。LI,LI00VYXYX0LIYXLIYX所以XVZUXZ可类似证明另外一个公式。注1此公式可推广到三元函数（或元函数的）情形。N注2全导数，求TWTVTUWVFZ,。DTZDTTDTUFV注3有连续的偏导数具有偏导数，YX,YX,求。注意记号。YZX,YUXUFFYZFF,例1设，求。XVZ23,LN2YZX,解方法一、YXYXYVUYXVZUXZ2323LN1LN22YXYXYVUYXYVZUYZ2323LN2LN22方法二、YXYXYXYXZ2323LN23LNYXYXYYYZ2323LN23LN例2设，而求全导数。TUVZSITVEUTCOS,DTZ解方法一、TETTTUVEDTZTVDTUZTTCOSINCOSSIN方法二、TETDTETZTTCOSINCOSSINCO例3设，其中是可微函数，YXYX22,求。YZX,解YXVU2,2YXYXXXZ22YVYUY2例4设具有连续的偏导数，证明由方程,所确定的函数满足方程0BZCYAXYXFZ,。（其中为常数）ZCA,解设BZCYVAZCXU,0,XVBZCYAXUYVVUVUZBXZAC00,YBZCAXYUZVUVUVUACZBCA0。CAYZBXVUVU二、复合函数的高阶偏导数例5设，且具有连续二阶偏导数，XYFZ,2VUF,求。22,YX解21XYFFZXFYFXFXFYFFYX1122212121123123212FYFFFX2212321112XYFFXFXFYFFYXZ24122314FYFFFXF例6设，具有连续的二阶偏导数，,SINXYEFZF求。YX2解2121SINSINFXYEXFYEFXZXYFEFFFFYXXX2COSCOICO21121122121214SSINSINSFYFYEFYEFEXXX例7具有连续的偏导数，在极坐标变换下U,（）证明SICOSRYRX。22221URYUX解SINCOYRURSIRUXYX2222COSSIN1INCO1RYURXYURU22YX三、全微分的不变性如果在有连续的偏导数，函数YXVYXU,在对应点有连续的偏导数，则复合函数VFZ,U在点处可微。YXY,YX,DVFFDVFFDZUUYXFYXFVU。DFVU例8经变换，变成WVUF,XYWZVYU222,，即，证明ZYXF,XFF,。WVUZYXFF解DZFYDXFWFDVFUF又因为XDYWXVYZ2,2,2WFDZV