高等数学-格林公式及其应用

1、利用曲线积分，求下列曲线所围成的平面图形的面积1）星形线。33COS,SINXATYT解24224600I1COSLSDTDTATTD。223531618A方法二、242240SINCO3SINCOLSYDXATATDTA222222000331SINCOI888ATTTTD2）。29164XY解。2200COS48COS1LSDTDTD2、计算，其中为反时针绕椭圆一周。LXYYAL2XYAB解利用格林公式原式2DDAB3、计算，其中为抛物线上由32COS1SIN3XYXYXYDL2XY点到的一段弧。0,12解设322,COS,1SIN3PXYXQYXY因为，所以此曲线积分与路劲无关，26原式12221300344YDYY4、计算，其中为椭圆的正1XYXYLEEDAL21XYAB向一周。解利用格林公式原式2211314XYXYXYXYXXYABABEEDDAB4），其中为正向椭圆。2LDYAL48解在的内部以原点为圆心以很小正数为半径作取正向的圆周，其参数方程为C，从到。由于，利用格林公式有COSINXTY0222PXYQX原式2220SINCOSICOSINCCDXYTTTTDA。201T5、计算曲线积分，其中为连续函数LDYXFYDXFICOSSINXF是沿圆周L2221X按逆时针方向由点到点,A0,O的弧段。解XYFQYXFPCOS,SINFXFY,CO从变到TXOA201原式OADDYXFYDXFDYCOSSIN102242ITTTFTTF43SIN422102TTF6、计算，其中为2LXDYAL1）圆周（按反时针方向）；212）闭曲线（按反时针方向）。XYAODX解设，它们在处无定义。22,YXPXQY0,2PXXY1）因为不在圆周内，所以；0,20LDA2）因为在闭曲线内，所以可在闭曲线内作圆周（取反时针方向）,22RCXYR。2220RLCXDYXDYD7、证明下列曲线积分在平面内与路径无关O1）2,423034XYDXY解因为，所以以上曲线积分在平面2334XYXOY内与路径无关。2,121423301085XYDXYDXYD2）,COSSINYEME解因为，所以以上曲线积分在平SICOYYYXXMXXOY面内与路径无关。,22000COSSINCOS2YYEXMDEDYXDM8、计算，其中是过三点的圆周。2L,1,ABC解设围成的区域为，利用格林公式得D0YYYLDEXDEDED9、设在上具有连续的导数，计算F,2211LYFXDYFXDY其中为从点到点的直线段。L3,解因为，所以此曲222111YFXXYFFXYF线积分与路劲无关。取路径沿曲线从点到点23,1,原式。12133224XXFFDX10、验证在整个平面内是某个函数的全微分，并求出一个,PYDQYOY原函数。1）1XYXYEED解因为，所以上式在平面内是某1YXYXYEXOY个函数的全微分。00,11XYXYXXYUYEDEDEE2）2323881解因为，所以上式在平面内322816YXYXEXYXOY是某个函数的全微分。323200,8142YYYYUXEDXE41X3）22COSSINIXYYXYD解因为，所以上式2COSINISIYXY在平面内是某个函数的全微分。XOY222000,2SINISICOSXYYUDXYDXYX2SICO11、设有一变力在坐标轴上