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第五节傅里叶级数一、三角级数，三角函数的正交性简谐振动振幅，角频率，初相TAYSINA问题能否将以为周期的函数用一系列正弦函数2FT组成的级数表示即SINNAT0SINNFXTCOSINT令，则有SI,NNNAABXT上式01COSI2NN此级数称为三角级数。三角函数系他们在上正交。1,COS,IN,COS,IN,XX,所谓正交即任意不同两项的乘积在一个周期内的积分为零，相同两项的乘积在一个周期内的积分为正数。，SIN0XDCOS0NXDCK（），OS0NXDK（）IKN，2DXCOSNXDSINXD二、函数展成傅里叶级数如果是以为周期的函数，且XF201COSIN2NAFXXB此级数称为傅里叶级数。01COSSIN2NAFXDXAXDBXD01AFXD01COSCOSSINCO2NKXAXKDBXKDCOSKKAD1012KFX,01SINCOSINSIN2NAKXDAXKDBXKDSINKKBB1I2KFXD,定理设函数是周期为的周期函数，如果它满足F1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；2）在一个周期只多只有有限个极值点。则的傅里叶级数在连续点收敛于；在间断点XFXF收敛于。021XFF例27设函数是以为周期的周期函数，它在F2,上的表达式为XXF01将其展成傅里叶级数。解0SIN2COS1COS1COS100KXKXDKXDKXDFAK0001COINININ2KKBF（）11SINNNXXF,21,0N例28设函数是以为周期的周期函数，它在F2,上的表达式为XXF0将其展开成傅里叶级数。解21100XDFA0KCOSKCOSXFK2211XINKKKXSINCOXDSINDFBK10211124NNXSIXCOSNXF,3,例29设函数展成傅里叶级数。XXF0解210DFANNXCOSF00S11DXDX1222020NNCOINCOS,1NXDSIFNB001XSIX1SI,N,N212NXCOSXF三、奇函数与偶函数的傅里叶级数定理如果函数是以为周期的函数，则XF21）当在一个周期内为奇函数时，它的傅里叶系数为0COSKXDFAK0SIN2INKXDFB,321K此时的傅里叶级数为（我们称之为正弦级数）XF1SINXB2）当在一个周期内为偶函数时，它的傅里叶系数为0COS2COS1KXDFKXDFAKINB,321K此时的傅里叶级数为（我们称之为余弦XF10COS2NXA级数）例30设是以为周期的函数，它在的表达式XF,为将展成傅里叶级数。F解0COS1NXDFAN,21NN200122SISISICONNXXBFXDN,21N11SINXXF,5,3例31将函数，展成傅里叶级数。2SINXMF解DIDXFA004120041821121KMXKCOSXKCOSDINDXFAK1248NNXCOSXF四、函数展成正弦级数或余弦级数例32将函数分别展成正弦级数和余XXF01弦级数。解1）展成余弦级数DXDXFA020122021
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