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第二节偏导数一、偏导数的定义及其计算定义设函数在点的某邻域内有定义，YXFZ,0,YX当固定在而在处有增量时相应的函数增量为Y0000,YXFYXF如果XYFYFX000,LIM存在，则称此极限为函数在点处关于的FZ,0,X偏导数，记为或或或。0YXZ0YXF0YXZ0,YF类似定义关于的偏导数。注1如果函数在区域内每一点对的偏导数都YXFZ,DX存在，对的偏导数记为X或或或XZFXZF对的偏导数也有类似情形。Y注2对于三元函数或元函数的偏导数可类似定义，如NYZXFZXFZYXFY000000,LIM,例1已知函数，求，。2,F2,1XF43YXF解；。52,XF5143YXF例2已知函数求。2,YXEFYXF,解3422,EFYEFYYX例3求三元函数的导数的偏导数。ZYXF,解ZXFXYFZZZYLNLN111。ZZZZLNL二、二元函数偏导数的几何意义（如图28）设二元函数，则为平面曲线YXFZ,0,YXF0,YXFZ在处切线的斜率。为平面曲线在处0X0,Y0切线的斜率。三、多元函数的连续性与偏导数没有必然的联系例4已知，00,22YXYXYXF求,0,0YXFF解，但在点处不连续。YXF,例5讨论在点处的偏导数。2,YXF0解此函数是初等函数，显然在点处连续，,不存在，同样，不存在。XFX0LIM,YFY0LIM,四、高阶偏导数如果函数在区域内的偏导数在YXFZ,DYXFFX,区域内还存在，那它的偏导数就称为的二阶偏DZ导数，记为YXFZYXF,2混合偏导数YXFYZXFFFYXYX,2FFYY,2类似可定义三阶，乃至阶偏导数。N例6求函数的二阶偏导数。XYEXFSI,解XYYYXEYEFSIN2SINSINCOCOXXYXSISISIXYYXEXYEYFSIN2SIN32CCCOXYXSISIOOSISXYYXEXYEYFSIN2SIN2CCC21EXXYSIN2IOS3XYYYXEYXEYFSIN2SIN2COCOCEXXSIN2IS1例7已知，求和00,22YXYYF0,XYF。0,YXF解容易看出,YXFF当时，2YX253422232,YXYXYXYXF2435223,YF1LIM0,1LIM0,XFYFYXXY定理如果函数的两个混合偏导数在区FZ,XYF2,域内连续，那么在区域内这两个混合偏导数相等。DD例8证明满足方程，其中RU1022ZUYX。22ZYXR解对称性。（调和函数、拉普拉斯算子）。；3221RXZYXRU32
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