高等数学-华南理工大学高等数学统考试卷下2008

高等数学下册试卷200971姓名学院与专业学号一、填空题共24分1、4分函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的必要,FXY,ZXY条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分条件（填必要、充分或充要）2、4分向量场的散度为2COSXYAEIJXZKSIN2XYEXY向量场的旋度为3BZZY2,463、4分设有连续偏导数，则,FXYFUVDZ122FYDXFY4、4分交换二次积分的积分次序20,YDFX402,XF5、4分设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积21XYZ1分0，2XYD2DS6、设，则它有极小值32,39,0FXYX,05F二、8分设，求ZEY2Z解两边取微分，得ZDXDYZX,ZZDYEDXYYE从而，ZX221ZZXXZXXZ222223231111ZZXZXZZZXXX三、7分设长方形的长、宽、高满足，求体积最小的长方XYZYZ体。解令1LXYZZ则，从而222110,0,0XYZXLXYXYZ再由即约束条件，可得，从而L3Z3Z由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。四、7分求球面含在圆柱面内部的那部分面积224XY2XY解上半球面的部分为21,ZD222,444XYZDSDXYXY112COS22088RSDXY五、7分计算三重积分，其中是由单位球面XYZDV围成的闭区域22XYZ解由对称性0XDVYZXDV从而2122200SINYZRDR115400042SINCOSRDR六、7分计算曲面积分，其中是23ZXDYZDZXYD圆锥面位于平面之间下方部分的下侧2ZXY解取上侧21,4ZDXY则原式1121323DVDXYVYDX20SIN2DRR2222300008883ISIN4COS433DD七7分计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点2LYXL,1A为终点的光滑曲线。1,0B解由于，2243XYXYXY2431YXXY从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关Y取路径，1,0X112200LDDXX八、7分求微分方程的通解3SINCOSXEYEY解，COSIN1XYDCO3I1XD，L3LLNXESYE九、7分计算满足下述方程的可导函数，YX0COS2SIN1XYYTDX解原方程两端求导得COSI2INCOSIN1YXYX即，这是标准的一阶线性微分方程SIN1COSXYSIINLNCOSLNCOSCO1TANCOSXDXDXXEEEEX原方程令得，代入通解得，从而0X1Y1CSINCOYX十、6分（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设且，0AE试根据的值判定级数的敛散性A1NA解，从而NUA111LIMLILIMNNNNUAEA当，即时，级数收敛；当，即时，该级数发散1E1NA0十一、6分（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设是周期FX为的周期函数，它在上的表达式为，试将函数展2,FX开成傅立叶级数解，（奇函数在对称区间上积分）0110,COS0NAFXDAFXND100222SICSCSOSNNBFXXDXXDNN从而1I,1NFK十二、7分（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设，证明满足微分方程，并求211NNXFXFX4FXFF解22312,1NNNNXXFXFXFX从而21144NNFF而且0,FF解初值问题，4XF0,2FF，通解为21,240,4FXFRI12COSINFXX，由初值条件，12SINCOSCXX120,SI2F十、6分（化工类做，即不学级数一章的同学做）求解初值问题0Y解方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，2X0Y210R特征根为，从而对应通解为1,2RI12COSINYX容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为2YXY12COSIN从而，由初值条件可得。COS2YXX123,C因此3CSI十一、6分（化工类做，即不学级数一章的同学做）设是曲线L在点处的切向量，求函数在2260XYZ1,2,FXYZZX该点沿的方向导数L解方程组两端对求导，得2260XYZX201XYZ把代入得，解得，于是在点处的切向量1,1YZ0YZ1,2为，单位切向量为,0TYZ,T所求方向导数为1,211,0,202XYZFFT十二、7（化工类做，即不学级数一章的同学做）给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的,0,XAYBFACZC,FUV切平面通过一个定点证令，则,XAY